引言

數(shù)學(xué)到底是一種由行家施展身手來表演如何化解難題的高度復(fù)雜的智力游戲，還是數(shù)學(xué)家在探索數(shù)學(xué)實(shí)在這一獨(dú)立領(lǐng)域過程中所帶來的發(fā)現(xiàn)？為什么這個(gè)看似抽象的學(xué)科能夠提供打開物理宇宙深層秘密的鑰匙？如何回答這些問題將明顯影響著我們對(duì)實(shí)在的形而上的思考。在岡道爾夫堡和劍橋召開的兩次跨學(xué)科專題討論會(huì)上，數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家們對(duì)這些問題進(jìn)行了探討。本書以周詳?shù)男问皆佻F(xiàn)了每位與會(huì)者在會(huì)議熱烈討論中所展現(xiàn)的風(fēng)采。文章盡力保持這樣一種平衡：既反映進(jìn)行這種討論所需的思想精確性，又照顧到準(zhǔn)備在此領(lǐng)域做出一番事業(yè)的非專業(yè)讀者的可讀性。

劍橋大學(xué)科學(xué)哲學(xué)教授彼得·利普頓參加了第一次會(huì)議，并有精彩發(fā)言。但不幸的是，這之后他溘然長(zhǎng)逝，對(duì)此我們感到非常難過。所有與會(huì)者有一個(gè)共同心愿：將本書作為我們對(duì)這位尊敬的學(xué)者和謙和、富于啟迪的同事的美好追憶。

本書的前兩章由數(shù)學(xué)家蒂莫西·高爾斯和馬庫(kù)斯·杜·索托伊撰寫。他們能夠充分利用長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)研究的豐富經(jīng)驗(yàn)來闡述問題。高爾斯特別重視發(fā)明和發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)詞是如何被數(shù)學(xué)界實(shí)際運(yùn)用的。他的結(jié)論是，當(dāng)導(dǎo)致重要結(jié)論的論證基本上只有唯一一條途徑時(shí)，用發(fā)現(xiàn)來說明似乎是恰當(dāng)?shù)摹６�如果存在多條清晰的論證途徑時(shí)，則人們更愿意用發(fā)明一詞來形容。杜·索托伊描述了在洞察一個(gè)事件時(shí)靈感閃現(xiàn)的情形，這是這樣一種經(jīng)驗(yàn)：可以確信，有待識(shí)別的東西早就已經(jīng)在那兒等待被發(fā)現(xiàn)了。

接下來的兩章由數(shù)學(xué)物理學(xué)家約翰·波金霍爾和羅杰·彭羅斯撰寫。波金霍爾旨在通過對(duì)哥德爾不完全性和人類數(shù)學(xué)能力進(jìn)化的論述來捍衛(wèi)數(shù)學(xué)實(shí)在。兩位物理學(xué)家都非�？粗�?cái)?shù)學(xué)在他們做出發(fā)現(xiàn)過程中所扮演的角色。彭羅斯認(rèn)為，哥德爾不完全性意味著有意識(shí)的思想要遠(yuǎn)比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算來得復(fù)雜。

其余章節(jié)由哲學(xué)家執(zhí)筆。彼得·利普頓撰寫的一章以短文呈現(xiàn)，以彰顯他對(duì)第一次研討會(huì)做出的貢獻(xiàn)。這篇文章討論了知識(shí)、理解和解釋等概念，強(qiáng)調(diào)了他認(rèn)為這些概念在科學(xué)和數(shù)學(xué)之間應(yīng)用的差異。斯圖爾特·夏皮羅幫忙為本文提供了一個(gè)附錄，說明本次討論的一些方法可能會(huì)得到進(jìn)一步擴(kuò)展�，旣�·倫對(duì)那種發(fā)現(xiàn)的感覺 許多數(shù)學(xué)家論證認(rèn)為必然由此導(dǎo)致柏拉圖的數(shù)學(xué)實(shí)在的觀點(diǎn) 持否定態(tài)度。相反，她認(rèn)為，這種感覺可以理解為出自邏輯上的必然性。邁克爾·德特勒夫森則對(duì)古代和現(xiàn)代圍繞發(fā)明或發(fā)現(xiàn)的爭(zhēng)論進(jìn)行了廣泛的調(diào)查。他對(duì)哥德爾著名的數(shù)學(xué)知覺與感性知覺之間的類比給予了謹(jǐn)慎的批評(píng)。斯圖爾特·夏皮羅認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一種人類活動(dòng)，其傳統(tǒng)源自人類的選擇。在他看來，關(guān)鍵概念是認(rèn)知律令。這個(gè)概念用來說明不同的人做同樣的計(jì)算所取得的結(jié)果應(yīng)有必然的一致性這一現(xiàn)象。他認(rèn)為這一觀點(diǎn)鼓勵(lì)人們從發(fā)現(xiàn)的角度去看問題。吉
迪恩·羅森探討了這樣一種觀念：數(shù)學(xué)的地位相當(dāng)于他所謂的有條件的實(shí)在論。他將這一判斷描述成對(duì)數(shù)學(xué)作為形而上學(xué)上第二等的一種裁決，因?yàn)樗�依賴于更基本的邏輯事�?shí)。最后，馬克·施泰納將我們領(lǐng)向笛卡兒而不是柏拉圖。他強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)似乎能夠提供某種剩余價(jià)值，允許數(shù)學(xué)家超越公理（數(shù)學(xué)家自己則將這種超越稱為深入的品質(zhì)）。

本項(xiàng)研討會(huì)的一個(gè)特點(diǎn)是討論氛圍的活泛和透徹。與會(huì)者希望本書能將這種氣質(zhì)傳遞給讀者，因此我們對(duì)每篇文章都附上一篇由其他與會(huì)者撰寫的短評(píng)。我們相信，這些評(píng)論是正文報(bào)告的一個(gè)重要組成部分，它反映了研討會(huì)帶來的啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性。

研討會(huì)的兩次會(huì)議均得到了約翰·鄧普頓基金會(huì)（John Templeton Foundation）的支持。所有與會(huì)者對(duì)這一慷慨資助表示由衷的感激。我們特別要感謝基金會(huì)的瑪麗·安·邁爾斯博士，她在組織協(xié)調(diào)方面提供了大力幫助，并對(duì)會(huì)議議題表現(xiàn)出濃厚興趣。