這是有關(guān)“凸分析”的較早的名著,是對(duì)凸分析理論進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)和論述的經(jīng)典之作,也是學(xué)習(xí)凸分析理論的必讀之書(shū)。以“凸分析”為內(nèi)容的教材、論文、論著,甚至在凸分析教學(xué)中的許多概念、內(nèi)容,或來(lái)源于此,或以此為范本。
本書(shū)對(duì)與凸分析相關(guān)的許多概念均進(jìn)行了嚴(yán)格定義,重點(diǎn)突出了“凸性”,如“凸集”“凸函數(shù)”“凸錐”,以及為刻畫(huà)凸性所需用到的“超平面”“凸集分離”“方向?qū)?shù)”“次梯度”“相對(duì)內(nèi)部”“共軛”“對(duì)偶”等。對(duì)與“凸性”有關(guān)的“KuhnTucker優(yōu)性”條件、“鞍點(diǎn)優(yōu)性”條件均有詳細(xì)的論述和證明。書(shū)中始終貫穿和應(yīng)用了凸性是對(duì)線性推廣的思想。本書(shū)是早出現(xiàn)“多值映射”“凸過(guò)程”“雙重函數(shù)”的著作之一。
本書(shū)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)甚至物理學(xué)等學(xué)科研究生的理想的凸分析教材,也是從事數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用研究的科技工作者的經(jīng)典參考書(shū)。
凸分析中的經(jīng)典教材,優(yōu)化理論方面的基礎(chǔ)
近年來(lái),凸性在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域有關(guān)極值問(wèn)題的研究中所發(fā)揮的作用越來(lái)越重要。本書(shū)是有關(guān)凸集和凸函數(shù)理論的系統(tǒng)闡述,這些理論在極值問(wèn)題的研究中發(fā)揮著中心作用。不等式系統(tǒng),定義在凸集上的凸函數(shù)的最大值或最小值、Lagrange乘子、極小極大定理以及有關(guān)凸集的結(jié)構(gòu)、凸函數(shù)與鞍函數(shù)的連續(xù)性和可微性的基本結(jié)果,均是本書(shū)所要涉獵的內(nèi)容。全書(shū)均涉及對(duì)偶性,特別地,要涉及關(guān)于凸函數(shù)Fenchel型共軛的相關(guān)理論。
書(shū)中的許多材料是以前沒(méi)有出版過(guò)的。例如,給出了一種推廣的線性代數(shù),按照此理論, “凸雙重函數(shù)” 為線性變換的類(lèi)似物, 凸集的“內(nèi)積” 以及函數(shù)用Fenchel型對(duì)偶定理中的極值來(lái)定義。每個(gè)凸雙重函數(shù)均與廣義凸規(guī)劃相聯(lián)系,引入了一種有關(guān)雙重函數(shù)的伴隨運(yùn)算,由其產(chǎn)生了一種對(duì)偶規(guī)劃理論。線性變換和雙線性泛函之間的所有經(jīng)典結(jié)論均被推廣到凸雙重函數(shù)和鞍函數(shù)的情形,并且在鞍函數(shù)和極小極大問(wèn)題的分析中作為主要工具。
不動(dòng)點(diǎn)定理等一些可被看作正常凸分析的專(zhuān)題被去掉了,并非這些內(nèi)容缺少吸引力和應(yīng)用性,而是因?yàn)樗鼈冃枰恍┘夹g(shù)改進(jìn),這些技術(shù)從某種程度上超出了本書(shū)的內(nèi)容。
考慮到不僅僅純數(shù)學(xué)家,而且經(jīng)濟(jì)學(xué)家、工程師等其他領(lǐng)域的專(zhuān)家已經(jīng)對(duì)凸分析有興趣,我們盡最大努力,使書(shū)的內(nèi)容保持在基礎(chǔ)知識(shí)的范圍,并且提供了細(xì)節(jié),這些細(xì)節(jié),如果僅限制在數(shù)學(xué)圈子的作品中是可接受的,僅僅被作為“練習(xí)”
來(lái)處理。一些討論,如實(shí)數(shù)n 元組空間,甚至許多能夠在更廣泛的環(huán)境下成立的結(jié)果,都限制在歐氏空間Rn 中。在注釋與參考中收集了一些有關(guān)改進(jìn)和推廣的文獻(xiàn),這部分內(nèi)容放在參考文獻(xiàn)的前面,兩者都安排在書(shū)的最后。
關(guān)于預(yù)備知識(shí),我們要求讀者應(yīng)該能夠至少具有良好的線性代數(shù)和基礎(chǔ)實(shí)分析(收斂序列、連續(xù)函數(shù)、開(kāi)集和閉集、緊性等)基礎(chǔ),Rn 空間的知識(shí)也不可缺。雖然與較深的抽象數(shù)學(xué)分支沒(méi)有可比性,但是從讀者的角度來(lái)講,書(shū)的風(fēng)格的確試圖表達(dá)數(shù)學(xué)的某些縝密性。
書(shū)的開(kāi)頭安排了導(dǎo)讀,對(duì)每部分的內(nèi)容和取材進(jìn)行了描述,可以看成是對(duì)每節(jié)主題的引言。
本書(shū)來(lái)源于1966年春季我在普林斯頓大學(xué)所授課程的講稿。這份講稿在很大程度上來(lái)源于哥本哈根大學(xué)的WernerFenchel教授15年前在普林斯頓大學(xué)所授類(lèi)似課程的手稿。Fenchel的手稿從未出版,但是,以油印本的方式傳閱,作為主要且本質(zhì)上為唯一的有關(guān)凸函數(shù)理論的文獻(xiàn),在這漫長(zhǎng)的時(shí)間里惠及了許多研究者。
前言Ⅴ 這極大地影響到我的思想,這方面的一個(gè)例子就是共軛凸函數(shù)占據(jù)了書(shū)的大部分。
因此,將本書(shū)以榮譽(yù)合著者的形式奉獻(xiàn)給Fenchel是十分合適的。
我十分希望表達(dá)我對(duì)普林斯頓大學(xué)A.W.Tucker教授的深深謝意,自從學(xué)生時(shí)代起,他的鼓勵(lì)和支持就已經(jīng)成為我的精神支柱。事實(shí)上,就是按Tucker的建議給出了本書(shū)的書(shū)名。進(jìn)一步還要感謝Torrence D.Parsons 博士、NormanZ.Shapiro博士和LynnMcLinden先生,他們仔細(xì)閱讀了書(shū)稿并提出了十分有用的建議。我也要感謝我在普林斯頓大學(xué)和華盛頓大學(xué)的學(xué)生們,當(dāng)書(shū)稿在教學(xué)中使用時(shí),他們的建議使書(shū)稿在許多表達(dá)方面得到了改進(jìn)。同時(shí)感謝JanetParker夫人耐心稱(chēng)職的秘書(shū)工作。
本書(shū)的初稿為1966年在普林斯頓的演講筆記,當(dāng)時(shí)得到美國(guó)海軍研究辦公室基金NONR1858 (21)基金項(xiàng)目NR-047-002的資助。隨后,空軍科學(xué)研究局在華盛頓大學(xué)以基金AF-AFOSR-1202-67的形式給予了熱情的資助。如果沒(méi)有這些資助,本書(shū)的書(shū)寫(xiě)工作也許會(huì)延緩、間斷。
R.T. 洛克菲勒
R.T.洛克菲勒(R.T.Rockafellar)是美國(guó)知名數(shù)學(xué)家,他畢業(yè)于哈佛大學(xué),是優(yōu)化理論的先驅(qū)者之一,任華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授。由
于他在凸分析和優(yōu)化方面的出色工作,使他獲得了美國(guó)工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)以及美國(guó)數(shù)學(xué)規(guī)劃學(xué)會(huì)的Dantzig獎(jiǎng)。
譯者序
前言
寫(xiě)在前面:導(dǎo)讀 1
第1部分 基本概念 7
第1節(jié) 仿射集 7
第2節(jié) 凸集與錐 12
第3節(jié) 凸集代數(shù) 16
第4節(jié) 凸函數(shù) 21
第5節(jié) 函數(shù)運(yùn)算 28
第2部分 拓?fù)湫再|(zhì) 35
第6節(jié) 凸集的相對(duì)內(nèi)部 35
第7節(jié) 凸函數(shù)的閉包 41
第8節(jié) 回收錐及其無(wú)界性 47
第9節(jié) 閉性準(zhǔn)則 55
第10節(jié) 凸函數(shù)的連續(xù)性 63
第3部分 對(duì)偶對(duì)應(yīng) 71
第11節(jié) 分離定理 71
第12節(jié) 凸函數(shù)的共軛 75
第13節(jié) 支撐函數(shù) 83
第14節(jié) 凸集的極 89
第15節(jié) 凸函數(shù)的極 94
第16節(jié) 對(duì)偶運(yùn)算 102
第4部分 表述與不等式 111
第17節(jié) Carathéodory定理 111
第18節(jié) 極點(diǎn)與凸集的面 117
第19節(jié) 多面體凸集與函數(shù) 122
第20節(jié) 多面體凸性的應(yīng)用 129
第21節(jié) Helly定理與不等式系統(tǒng) 133
第22節(jié) 線性不等式 142
第5部分 微分理論 152
第23節(jié) 方向?qū)?shù)與次梯度 152
第24節(jié) 微分的連續(xù)性和單調(diào)性 162
第25節(jié) 凸函數(shù)的可微性 173
第26節(jié) Legendre變換 179
第6部分 約束極值問(wèn)題 188
第27節(jié) 凸函數(shù)的最小值 188
第28節(jié) 常見(jiàn)凸規(guī)劃與Lagrange乘子 195
第29節(jié) 雙重函數(shù)及廣義凸規(guī)劃 209
第30節(jié) 伴隨雙重函數(shù)及對(duì)偶規(guī)劃 220
第31節(jié) Fenchel對(duì)偶定理 236
第32節(jié) 凸函數(shù)的最大值 246
第7部分 鞍函數(shù)與極小極大理論 251
第33節(jié) 鞍函數(shù) 251
第34節(jié) 閉包和等價(jià)類(lèi) 258
第35節(jié) 鞍函數(shù)的連續(xù)性與可微性 266
第36節(jié) 極小極大問(wèn)題 272
第37節(jié) 共軛鞍函數(shù)與極小極大定理 278
第8部分 凸代數(shù) 286
第38節(jié) 雙重函數(shù)代數(shù) 286
第39節(jié) 凸過(guò)程 295
注釋與參考 304
參考文獻(xiàn) 310