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　　《畫法幾何及機(jī)械制圖教程》主要內(nèi)容有畫法幾何及機(jī)械制圖標(biāo)準(zhǔn)，投影基本知識(shí)，點(diǎn)、直線、平面的投影，直線與平面及兩平面間的相對(duì)位置關(guān)系，投影變換，平面立體，曲線、曲面及曲面立體，組合體的視圖及尺寸標(biāo)注，軸測(cè)投影，機(jī)件的表達(dá)方法，常用零部件的特殊表示法，零件圖，裝配圖，AutoCAD2014繪圖基礎(chǔ)等。本書注重理論和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，內(nèi)容由淺入深、通俗易懂，既便于教學(xué)又利于自學(xué)，可以作為學(xué)校教學(xué)或工程技術(shù)人員的參考教材。

　　為了方便教學(xué)，本書還配有電子課件等教學(xué)資源包，任課教師和學(xué)生可以登錄“我們愛讀書”網(wǎng)（www.ibook4us.com）免費(fèi)注冊(cè)并瀏覽，或者發(fā)郵件至hustpeiit 163.com免費(fèi)索取。

　　本書依據(jù)教育部制定的高等工科院�！懂嫹◣缀渭皺C(jī)械制圖課程教學(xué)基本要求》，根據(jù)近年來我國高等院校畫法幾何及機(jī)械制圖教育教學(xué)改革研究的方向和發(fā)展趨勢(shì)，并結(jié)合應(yīng)用型技能型人才培養(yǎng)及高校專業(yè)轉(zhuǎn)型發(fā)展的需要編寫而成。其目的是使學(xué)生在掌握正投影及機(jī)械制圖基本知識(shí)、基本理論的同時(shí)，側(cè)重于對(duì)學(xué)生基本技能的培養(yǎng)及對(duì)學(xué)生空間思維能力、邏輯推理能力、創(chuàng)新能力、獨(dú)立分析問題能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真細(xì)致的工作作風(fēng)。

　　畫法幾何、機(jī)械制圖課程是高等工科院校的一門重要技術(shù)基礎(chǔ)課，本書結(jié)合近年來計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展，全部采用我國新頒布的機(jī)械制圖國家標(biāo)準(zhǔn)及與制圖有關(guān)的其他標(biāo)準(zhǔn)。全書共14章，精選了畫法幾何部分的內(nèi)容，并調(diào)整了深度，使其內(nèi)容更加緊湊，同時(shí)充實(shí)了徒手繪圖和計(jì)算機(jī)繪圖的內(nèi)容教材內(nèi)容。科學(xué)準(zhǔn)確、文字精練、邏輯性強(qiáng),前后銜接合理，符合認(rèn)知規(guī)律。

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　　全書由大連工業(yè)大學(xué)藝術(shù)與信息工程學(xué)院金崇源、大連工業(yè)大學(xué)王海文、大連工業(yè)大學(xué)藝術(shù)與信息工程學(xué)院馬瑞擔(dān)任主編，由大連工業(yè)大學(xué)藝術(shù)與信息工程學(xué)院劉紹力和曹旭、沈陽科技學(xué)院王楠、哈爾濱石油學(xué)院高宇博和王甜擔(dān)任副主編。全書共14章，金崇源編寫第9章，馬瑞編寫第3~6章，王海文編寫第2章，劉紹力編寫第12、13章，曹旭編寫第10、11章，王楠編寫第7、8章，高宇博編寫第14章，王甜編寫第1章。劉浩、萬達(dá)、馮曉玉、李曉波、劉超陽、郝春明、孫嘉瑤、王泉力協(xié)助進(jìn)行了資料整理、編寫工作。全書由金崇源統(tǒng)稿。

　　本書在編寫的過程中，參考了兄弟院校的資料及其他相關(guān)教材，并得到許多同仁的關(guān)心和幫助，在此謹(jǐn)致謝意。為了方便教學(xué)，本書還配有電子課件等教學(xué)資源包，任課教師和學(xué)生可以登錄“我們愛讀書”網(wǎng)（www.ibook4us.com）免費(fèi)注冊(cè)并瀏覽，或者發(fā)郵件至hustpeiit 163.com免費(fèi)索取。

　　限于篇幅及編者的業(yè)務(wù)水平，在內(nèi)容上若有局限和欠妥之處，竭誠希望同行和讀者賜予寶貴的意見。

　　第2章點(diǎn)和直線的投影

　　第2章

　　點(diǎn)和直線的投影

　　點(diǎn)是組成形體基本的幾何元素，在立體上常常以交點(diǎn)的形式出現(xiàn)。因此，要研究空間形體的圖示法，首先就要研究空間點(diǎn)的圖示法以及它的投影規(guī)律。直線是點(diǎn)的集合，兩點(diǎn)可以確定一直線，所以直線的投影就是點(diǎn)的投影的集合。只要作出直線段兩端點(diǎn)的三面投影，再將兩端點(diǎn)的同面投影相連，即得直線的三面投影圖。

　　2.1點(diǎn)的投影

　　2.1.1點(diǎn)的單面投影

　　空間點(diǎn)在一個(gè)投影面上有唯yi的一個(gè)正投影，但根據(jù)點(diǎn)在一個(gè)投影面上的一個(gè)正投影，卻不能確定該點(diǎn)在空間的位置。

　　當(dāng)空間點(diǎn)與投影面的相對(duì)位置確定后，通過該點(diǎn)只能作一條垂直于該投影面的投射線，該投射線與投影面只能交于一點(diǎn)，即有且只有一個(gè)正投影。如圖21(a)所示，設(shè)空間有一點(diǎn)A和一個(gè)投影面H，通過點(diǎn)A只能作一條垂直于H面的投射線Aa，因而與H面只能交得一個(gè)正投影a。

　　圖21點(diǎn)的單面投影

　　相反的，如圖21(b)所示，位于同一條投射線上各點(diǎn)如A1，A2，A3等在H面上的正投影重疊于a點(diǎn)，因而僅由點(diǎn)的一個(gè)正投影a，不能確定A點(diǎn)在空間與投影面H的相對(duì)位置。

　　2.1.2點(diǎn)的兩面投影

　　1.兩投影面體系

　　由前所述，單憑一點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影，不能確定該點(diǎn)在空間的位置。因此，如圖22(a)所示，取兩個(gè)相互垂直的投影面，組成兩投影面體系。其中，一個(gè)是水平的投影面，用字母H表示，稱為水平投影面，簡稱H面；另一個(gè)是正對(duì)觀察者的直立投影面，用字母V表示，稱為正立投影面，簡稱V面。它們相交于一條水平直線，用OX表示，稱為投影軸OX，簡稱X軸。

　　2.點(diǎn)的兩面投影

　　將空間點(diǎn)A置于兩投影面體系中，過A分別作投射線垂直于H面和V面，即得點(diǎn)A的水平投影a和正面投影a′，如圖22(a)所示。

　　為了表達(dá)和說明需要，圖中點(diǎn)及其投影常用小圓圈表示，空間點(diǎn)用大寫字母(或羅馬數(shù)字)表示，H面投影用對(duì)應(yīng)的小寫字母(或阿拉伯?dāng)?shù)字)表示，V面投影用對(duì)應(yīng)的小寫字母(或阿拉伯?dāng)?shù)字)加一撇表示，如a′（讀作a一撇）。

　　3.兩面投影圖

　　為了將空間兩投影面上的投影畫在同一面(即圖紙上)，還需將投影面展開，規(guī)定V面保持不動(dòng)，而將H面繞投影軸OX向下旋轉(zhuǎn)90°(如圖22(b)中箭頭所示)，使其與V面重合，就得到A點(diǎn)的兩面投影圖，如圖22(c)所示。由于平面(投影面)是可以無限延伸的，因此在投影圖上一般不畫出投影面的邊框，如圖22(d)所示。

　　第2章點(diǎn)和直線的投影

　　圖22點(diǎn)的兩面投影

　　2.1.3點(diǎn)的兩面投影特性

　　分析點(diǎn)在兩投影面體系中得到投影圖的過程，可得出點(diǎn)的兩面投影特性如下。

　　1.點(diǎn)的兩面投影的連線垂直于投影軸(即aa′⊥OX)

　　圖22(a)中，投射線Aa和Aa′所構(gòu)成的平面Aaaxa′垂直于H面和V面，亦即垂直于H面和V面的交線OX軸，因而平面Aaaxa′上的直線aax和a′ax必垂直于OX軸。當(dāng)水平投影a隨H面旋轉(zhuǎn)至與V面重合時(shí)，aax與OX軸的垂直關(guān)系不變，因此，在兩面投影圖上a，ax，a′三點(diǎn)共線，且其連線垂直于OX軸。

　　2.空間點(diǎn)的投影到投影軸的距離等于該點(diǎn)到對(duì)應(yīng)投影面的距離

　　點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)到V面的距離；點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)到H面的距離(即aax=Aa′,a′ax=Aa)。由圖22(a)可知，Aaaxa′是一矩形，其對(duì)邊相等，所以aax=Aa′,a′ax=Aa。

　　根據(jù)一點(diǎn)在投影圖中兩個(gè)投影，能確定該點(diǎn)在空間的位置，以及該點(diǎn)到兩投影面的距離。如圖22(c)或圖22(d)加上投影面邊框后，若這時(shí)位于OX軸下方的H面，繞OX軸向上方旋轉(zhuǎn)回至水平位置，就如圖22(b)一樣，于是也能決定A點(diǎn)在空間的位置，因而也決定了其到投影面的距離。

　　2.1.4三投影面體系

　　圖23三面投影體系的建立

　　三投影面體系是在兩投影面體系中增加一個(gè)與H面和V面都相互垂直的側(cè)立投影面W面，如圖23所示。每兩個(gè)投影面的交線分別稱為投影軸OX，OY和OZ。三投影軸垂直相交的O點(diǎn)稱為原點(diǎn)。

　　因?yàn)橥队懊媸菬o限大的，故兩兩相互垂直的V，H，W面把空間劃分成八個(gè)部分，每一個(gè)部分稱為一個(gè)分角。規(guī)定：H面之上、V面之前、W面之左的部分為第Ⅰ分角，其他各分角如圖23所示（第Ⅶ分角在第Ⅵ分角的下面）。

　　我國的制圖國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定工程形體圖樣采用第Ⅰ分角畫法，即將形體放在第Ⅰ分角中進(jìn)行投影。因此，本書主要研究空間幾何元素在第Ⅰ分角中的投影，以后凡不做特別說明的投影圖都是第Ⅰ分角中的投影圖。

　　2.1.5點(diǎn)的三面投影

　　如圖24(a)所示，三投影面體系中的第Ⅰ分角內(nèi)有一空間點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別作投射線垂直于H面、V面和W面，分別得點(diǎn)A的水平投影a、正面投影a′和側(cè)面投影a″(規(guī)定W面投影用對(duì)應(yīng)的小寫字母加兩撇表示)。

　　將三個(gè)投影面展開成為一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定V面保持不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°，使得H面、W面與V面處于同一平面上，便可得A點(diǎn)的三面投影圖，如圖24(b)所示。由于投影圖上投影軸OY在兩處出現(xiàn)，為便于區(qū)分，隨H面旋轉(zhuǎn)后的OY軸標(biāo)記為OYH，隨W面旋轉(zhuǎn)后的OY軸標(biāo)記為OYW。再將表示投影面范圍的邊框去掉，便可得點(diǎn)A的三面無邊框投影圖，如圖24(c)所示。

　　圖24點(diǎn)的三面投影

　　2.1.6點(diǎn)的三面投影規(guī)律

　　從圖24(c)所示的三面投影圖可知，點(diǎn)的三面投影規(guī)律如下。

　�。�1）一點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸(即aa′⊥OX)。

　　（2）一點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸(即a′a″⊥OZ)。

　　（3）一點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于該點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離(即aax=Aa′=a″az=ayO)。

　　以上三條規(guī)律就是“長對(duì)正，高平齊，寬相等”三等關(guān)系的理論依據(jù)。如圖25所示，因?yàn)樾误w左一點(diǎn)A和右一點(diǎn)B的H投影與V投影，分別在同一豎直投影連線上，因而必然會(huì)出現(xiàn)“長對(duì)正”的關(guān)系；同樣，形體高一點(diǎn)A和低一點(diǎn)C的V投影與W投影，分別在同一水平連線上，因而必然會(huì)出現(xiàn)“高平齊”的關(guān)系；形體前一點(diǎn)A和后一點(diǎn)D距離V面的距離差，在其H和W投影中均能反映，因而必然會(huì)出現(xiàn)“寬相等”的關(guān)系。

　　圖25三面投影的關(guān)系

　　2.1.7點(diǎn)的三面投影和直角坐標(biāo)的關(guān)系

　　若把三面投影體系中的三投影軸OX，OY，OZ(簡稱X，Y，Z軸)當(dāng)作空間直角坐標(biāo)體系OXYZ的三個(gè)坐標(biāo)軸，把三面投影體系中的原點(diǎn)O當(dāng)作坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，把三投影面H，V，W分別當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面XOY，XOZ，YOZ，則點(diǎn)的空間位置可用其直角坐標(biāo)值來確定，即點(diǎn)到三個(gè)投影面間的距離分別為該點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)值，如圖26所示。

　　圖26點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系

　　從圖26中可見，點(diǎn)的投影與其坐標(biāo)的關(guān)系如下。

　�。�1）Aa″=axO=aayH=a′az=x，反映點(diǎn)A到W面的距離。

　�。�2）Aa′=ayHO=ayWO=aax=a″az=y，反映點(diǎn)A到V面的距離。

　�。�3）Aa=azO=a′ax=a″ayW=z，反映點(diǎn)A到H面的距離。

　　由圖26還可以看出，空間點(diǎn)A的位置由它的直角坐標(biāo)A(x，y，z)確定，它的三個(gè)投影的坐標(biāo)分別為a(x，y)、a′(x，z)，a″(y，z)，即其水平投影a反映了x，y坐標(biāo)值，正面投影a′反映了x，z坐標(biāo)值，側(cè)面投影a″反映了y，z坐標(biāo)值。因此，只知道空間點(diǎn)的一個(gè)投影無法確定其在空間的位置，因?yàn)辄c(diǎn)的一個(gè)投影只能確定該點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)值，要確定空間點(diǎn)的位置，必須知道兩個(gè)投影。

　　例21如圖27(a)所示，已知K點(diǎn)的正面和側(cè)面投影，求作其水平投影k。

　　解(1)分析。根據(jù)點(diǎn)的三面投影規(guī)律，所求K點(diǎn)水平投影k與正面投影k′的連線垂直于OX軸，且k到OX軸的距離等于k″到OZ軸的距離。

　　(2)作圖步驟。具體作圖如圖27(b)、圖27（c)所示。

　�、儆蒶′作OX軸的垂線k′kx，所求的k必在這條豎直投影連線上，如圖27(b)所示。

　　②由k″作OYW軸的垂線，并利用過原點(diǎn)O的45°輔助線，在k′kx的延長線上向下截取kxk=OkyW，k即為所求的K點(diǎn)的水平投影，如圖27(c)所示。

　　圖27已知點(diǎn)的兩投影求作第三投影

　　例22已知點(diǎn)A(15，12，20)，點(diǎn)B(10，5，0)，求作兩點(diǎn)的三面投影。

　　解(1)分析。由已知條件可知，點(diǎn)A的三個(gè)坐標(biāo)為xA=15，yA=12，zA=20；點(diǎn)B的三個(gè)坐標(biāo)為xB=10，yB=5，zB=0。由于點(diǎn)的每個(gè)投影均由兩個(gè)坐標(biāo)值確定，因此可作出點(diǎn)的投影。

　　(2)作圖步驟。具體作圖如圖28所示。

　�、偈紫犬嫵鐾队拜S。

　�、谠贠X軸上依據(jù)xA=15定出點(diǎn)ax，在OZ軸上依據(jù)zA=20定出點(diǎn)az，在OYH，OYW軸上依據(jù)yA=12分別定出ayH，ayW，如圖28(a)所示。

　�、圻^ax作OX軸的垂線，再過az，ayH分別作OZ，OYH軸的垂線，其與OX軸垂線的交點(diǎn)即為a′，a。

　�、芾�45°的輔助線使OayW=OayH，過ayW作OYW軸的垂線，此線與過az的OZ軸垂線的交點(diǎn)即為a″，如圖28(b)所示。

　　⑤用同樣的方法作出點(diǎn)B的各投影，因zB=0，因而B點(diǎn)位于H面上，b′在OX軸上，b″在OYW軸上，如圖28(c)所示。

　　圖28已知點(diǎn)的坐標(biāo)求作其投影圖

　　例23已知點(diǎn)A(15，10，20)，點(diǎn)B(5，15，0)，求作兩點(diǎn)的立體圖。

　　解(1)分析。由已知條件可知，確定A，B點(diǎn)空間位置的三個(gè)坐標(biāo)值均為已知，因而兩點(diǎn)的空間位置唯yi確定，即可作出兩點(diǎn)的立體圖。

　　(2)作圖步驟。具體作圖如圖29所示。

　�、偈紫茸鞒霰硎菊⑼队懊鎂面的矩形，得OX，OZ軸及原點(diǎn)O。

　�、谶^原點(diǎn)O作45°斜線即為OY軸，分別過斜線的端點(diǎn)作OX軸、OZ軸的平行線，圍成的兩個(gè)平行四邊形即為H，W投影面。注意三個(gè)軸的長度要比已知點(diǎn)的各方向大坐標(biāo)值稍長，如圖29(a)所示。

　　③在OX軸上取xA=15得點(diǎn)ax，過ax作OY軸的平行線并截取yA=10得點(diǎn)a，過a作OZ軸的平行線并在其上截取zA=20得點(diǎn)A，并分別作出a′，a″及ay，az并連成投影長方體，即得A點(diǎn)的立體圖，如圖29(b)所示。

　�、芡瑯拥姆椒ǹ勺鞒鳇c(diǎn)B的立體圖。因zB=0，點(diǎn)B在H面上，“投影長方體”變成投影矩形，如圖29(c)所示。

　　圖29已知點(diǎn)的坐標(biāo)求作其立體圖

　　2.2兩點(diǎn)的相對(duì)位置

　　2.2.1兩點(diǎn)的相對(duì)位置

　　兩點(diǎn)的相對(duì)位置，是指兩點(diǎn)垂直于投影面方向也即平行于投影軸OX、OY、OZ的左右、前后和上下的相對(duì)關(guān)系。在投影圖上，可由兩點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)方向上的坐標(biāo)差來表示。設(shè)在OX、OY、OZ三個(gè)方向上，坐標(biāo)值大的一方分別為左方、前方、上方，則研究空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，即是判別出它們之間的左右、前后、上下的相對(duì)位置關(guān)系。

　　對(duì)于圖210(a)、圖210（b)中的兩點(diǎn)，對(duì)相對(duì)位置判斷如下：

　　（1）由H，V投影可看出，xA>xB，所以A點(diǎn)在B點(diǎn)的左方；

　�。�2）由H，W投影可看出，yA>yB，所以A點(diǎn)在B點(diǎn)的前方；

　�。�3）由V，W投影可看出，zA>zB，所以A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方；

　　則由三投影中的任兩投影即可綜合得出A在B的左、前、上方。

　　兩點(diǎn)的相對(duì)位置只與其中的基準(zhǔn)點(diǎn)有關(guān)，而與投影面或投影軸的位置無關(guān)，如圖210(c)中的投影圖，雖然沒有繪出投影軸，但同樣可以根據(jù)坐標(biāo)差值判斷出A在B的右、后、上方。同時(shí)，若在投影圖上給出A，B兩點(diǎn)中任一點(diǎn)的投影，則根據(jù)它們的相對(duì)坐標(biāo)就能作出另一點(diǎn)的投影。

　　圖210已知兩點(diǎn)的投影判斷其相對(duì)位置

　　2.2.2重影點(diǎn)的可見性

　　當(dāng)空間兩點(diǎn)位于垂直于某投影面的同一條投射線上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重疊在一起，稱這兩點(diǎn)為對(duì)該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)。這種情況下該空間兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)值中有兩個(gè)相等而第三個(gè)不相等。

　　如圖211所示，A，B兩點(diǎn)是對(duì)H面的一對(duì)重影點(diǎn)，則z坐標(biāo)值大的A點(diǎn)在上方；

　　C，D兩點(diǎn)是對(duì)V面的一對(duì)重影點(diǎn)，則y坐標(biāo)值大的C點(diǎn)在前方；

　　E，F(xiàn)兩點(diǎn)是對(duì)W面的一對(duì)重影點(diǎn)，則x坐標(biāo)值大的E點(diǎn)在左方。

　　如圖211所示的投影圖中，若把投射方向作為觀察方向，則投影重疊的兩點(diǎn)(即重影點(diǎn))就存在了誰擋住誰、誰可見誰不可見的問題。顯而易見，把投射方向作為觀察方向，坐標(biāo)值大的點(diǎn)的投影可見，坐標(biāo)值小的點(diǎn)的投影不可見。在投影圖中規(guī)定用括號(hào)把不可見的投影括起來，以示區(qū)別，如圖211中的a(b)，c′(d′)，e″(f″)。

　　由此可見，對(duì)某投影面的一對(duì)重影點(diǎn)的三對(duì)坐標(biāo)值中，必定有兩對(duì)相等；從投射方向觀看，重影點(diǎn)必定有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一點(diǎn)的投影遮擋住而不可見；判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一個(gè)投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見的點(diǎn)的投影用括號(hào)表示。

　　圖211重影點(diǎn)的投影

　　2.2.3無軸投影圖

　　前述的投影是建立在一個(gè)有形的三面投影體系或兩面投影體系的基礎(chǔ)之上，所畫的投影圖均包含了投影軸，這種圖稱為有軸投影圖。

　　如果只研究空間兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置或距離，而不涉及各點(diǎn)到投影面的距離，則可以不將投影軸表示出來，這種圖稱為無軸投影圖。

　　在無軸投影圖中，投影軸雖省略不畫，但各投影面依然存在；投影軸的位置雖不確定，但水平或鉛垂方向保持不變，且投影連線必垂直于相應(yīng)的投影軸。也就是說，三面投影的相互排列位置與方向，仍舊像有投影軸時(shí)一樣，即它們之間的投影連線方向沒有改變。因此，無軸投影圖仍應(yīng)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

　　圖212無軸投影圖

　　如圖212所示，aa′仍為豎直方向，a′a″仍為水平方向；此外，過a的水平線與過a″的豎直線，應(yīng)交于45°斜線上的點(diǎn)a0(a0一般不必注出)。在無軸投影圖中，當(dāng)A點(diǎn)的H面投影a、W面投影a″已知時(shí)，則45°斜線的位置必隨之確定，它必定通過由a所作水平線和由a″所作豎直線的交點(diǎn)a0。而且，在一個(gè)三投影面體系中，有且只有一條45°斜線。

　　如果無軸投影圖中，已知一點(diǎn)的V面投影，并知H面或W面投影中的一個(gè)時(shí)，則45°斜線的位置可以任意選取。

　　例24在如圖213(a)所示的無軸投影體系中，已知M點(diǎn)的兩個(gè)投影m、m″，N點(diǎn)的兩個(gè)投影n，n′，求作兩點(diǎn)的第三投影m′和n″。

　　解(1)分析。點(diǎn)M的H面投影m、W面投影m″已知，則45°斜線的位置必隨之確定，它必定過由m所作水平線和由m″所作豎直線的交點(diǎn)。由此可確定兩點(diǎn)的其余投影。

　　(2)作圖步驟。具體作圖如圖213(b)所示。

　�、龠^m向上作豎直線，過m″向左作水平線，其交點(diǎn)即為m′。

　�、谠跓o軸投影圖中，由n，n′求n″，必須先畫出45°斜線。由于M，N兩點(diǎn)處于同一個(gè)三投影面體系中，所以只能有一條45°斜線。故過m向右作水平線，過m″向下作豎直線，得交點(diǎn)m0；過m0作與水平方向成45°的斜線。

　�、圻^n向右作水平線與45°斜線交于n0，再過n0向上作豎直線，后過n′向右作水平線與過n0的豎直線相交，交點(diǎn)即為n″。

　　圖213已知點(diǎn)的兩面投影求作第三面投影

　　2.3直線的投影及其投影特性

　　直線的投影是指通過直線的投射平面與投影面的交線。直線上任一點(diǎn)的投影，必在直線的投影上，直線段端點(diǎn)的投影，必為直線段投影的端點(diǎn)。確定一直線的空間位置，只需要兩個(gè)不重合的點(diǎn)，故作直線的投影，只要作出直線上兩個(gè)任意不重合的點(diǎn)的投影連成直線即可。直線可視為點(diǎn)的集合，所以直線的投影就是點(diǎn)的投影的集合，直線的投影一般情況下仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。

　　根據(jù)直線與投影面的相對(duì)位置關(guān)系，直線可分為三類：一般位置直線、投影面平行線、投影面垂直線。后兩類統(tǒng)稱為特殊位置直線。直線與投影面之間的夾角稱為傾角，并規(guī)定直線與投影面H，V，W之間的傾角分別用希臘字母α，β，γ表示。

　　2.3.1一般位置直線

　　一般位置直線是指對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線。如圖214所示，直線AB的各投影長度為：水平投影ab=ABcosα，正面投影a′b′=ABcosβ，側(cè)面投影a″b″=ABcosγ，由于一般位置直線AB對(duì)三個(gè)投影面的傾角α，β，γ都大于0°小于90°，因此0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，0＜cosγ＜1，故ab＜AB，a′b′＜AB，a″b″＜AB。

　　所以，一般位置直線有如下投影特性。

　　（1）三個(gè)投影的長度都小于空間直線段的實(shí)長。

　�。�2）三個(gè)投影都傾斜于各投影軸，投影與投影軸的夾角都不能反映空間直線對(duì)相應(yīng)投影面的傾角α，β，γ的實(shí)形。

　　圖214一般位置直線的投影

　　2.3.2投影面平行線

　　只平行于一個(gè)投影面，且同時(shí)傾斜于另兩個(gè)投影面的直線，稱為投影面平行線。投影面平行線又可以細(xì)分為水平線、正平線和側(cè)平線三種：

　　水平線——平行于H面，同時(shí)傾斜于V，W面的直線；

　　正平線——平行于V面，同時(shí)傾斜于H，W面的直線；

　　側(cè)平線——平行于W面，同時(shí)傾斜于H，V面的直線。

　　如圖215所示為水平線AB的軸測(cè)圖和投影圖，從圖中可知，由于AB∥H面，α=0°，因而ab_x000e_?瘙綊AB，ab與OX，OY軸的夾角分別反映了AB對(duì)V，W面傾角β，γ的實(shí)形；又因?yàn)锳B∥H面，zA=zB，故a′b′∥OX軸，a″b″∥OYW軸。

　　圖215水平線的投影

　　因而，水平線的投影特性為：水平投影(H投影)傾斜且反映線段的實(shí)長，其與OX，OY軸的夾角分別反映平面對(duì)V，W面傾角β、γ的實(shí)形，另兩投影分別平行于相應(yīng)的投影軸(OX，OYW軸)。

　　同理，可分析出正平線、側(cè)平線的投影特征，如表21所示。

　　根據(jù)表21中所列內(nèi)容，可將平行線的投影特性概括如下。

　�。�1）投影面平行線在它所平行的投影面上的投影反映該直線段的空間實(shí)長，并反映對(duì)其他兩個(gè)投影面傾角的實(shí)形。

　�。�2）投影面平行線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，但都小于直線段的實(shí)長。

　　表21投影面平行線的投影特性

　　水平線

　　正平線

　　側(cè)平線

　　特征

　　∥H面，傾斜于V，W面

　　∥V面，傾斜于H，W面

　　∥W面，傾斜于H，V面

　　角度

　　α=0°，β，γ∈(0°,90°)

　　β=0°，α，γ∈(0°,90°)

　　γ=0°，α，β∈(0°,90°)

　　坐標(biāo)

　　z值相等，zA=zB

　　y值相等，yC=yD

　　x值相等，xE=xF

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