數(shù)理邏輯是研究推理，特別是研究數(shù)學(xué)中的推理的科學(xué)。本書(shū)陳述數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)性知識(shí)，包括邏輯演算（這里是指命題邏輯和一階謂詞邏輯）的基本內(nèi)容，這些內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理邏輯各個(gè)分支（模型論、證明論和構(gòu)造性數(shù)學(xué)、遞歸論、集合論）的共同的基礎(chǔ)。

　　數(shù)理邏輯的思想可以溯源到萊布尼茲，而命題邏輯和一階謂詞邏輯的研究則從弗雷格開(kāi)始。以后，經(jīng)過(guò)皮爾斯，施羅德，皮亞諾，懷德海與羅素，勒文海姆，斯柯倫9等的研究，特別是經(jīng)過(guò)了希爾伯特與阿克曼、貝爾奈斯的研究和整理，謂詞邏輯的體系得以形成；而在哥德?tīng)栕C明了一階邏輯的完全性定理之后，這個(gè)邏輯演算的體系可以說(shuō)是最后得到完成。

　　邏輯演算是反映前提和結(jié)論之間的推理關(guān)系的形式系統(tǒng)。在數(shù)理邏輯的歷史發(fā)展中，構(gòu)造了邏輯演算的重官式系統(tǒng)。在重言式系統(tǒng)中，以某些形式公理和形式推理規(guī)則刻劃重言式的全體，以重言式反映推理關(guān)系。

　　然而，重言式系統(tǒng)中的形式公理（它們本身都是重言式）并不揭示出推理的性質(zhì)。形式公理的涵義是并不直觀、并不明顯的。用重言式系統(tǒng)中的形式推理來(lái)反映演繹推理是不直接、不自然的，于是出現(xiàn)了一些較為直接地反映推理關(guān)系的邏輯演算。由厄爾勃朗證明的演繹定理就是比較直接地反映推理關(guān)系的，以后，在雅思柯夫斯基，根岑等的著作中，也表明了這種趨勢(shì)。又如在克利尼的《元數(shù)學(xué)導(dǎo)引》一書(shū)中所構(gòu)造的邏輯演算，雖然仍然是重言式系統(tǒng)，但在其中定義了有前提的形式推理，并且利用演繹定理得出直接反映推理關(guān)系的形式推理關(guān)系，這也表明了上面所說(shuō)的趨勢(shì)，

　　本書(shū)按照直接而自然地反映推理關(guān)系的要求來(lái)構(gòu)造邏輯演算，這是邏輯演算的自然推理系統(tǒng)。本書(shū)中構(gòu)造的自然推理系統(tǒng)既是一種嚴(yán)格的形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，又與通常的數(shù)學(xué)語(yǔ)言很接近。王憲鈞同志在1940年前后曾告訴作者之一，沈有鼎同志在三十年代初就有了關(guān)于構(gòu)造邏輯演算的自然推理系統(tǒng)的思想。本書(shū)所構(gòu)造的自然推理系統(tǒng)是受到這種思想的啟發(fā)的，

　　文獻(xiàn)中已有的帶函數(shù)詞的謂詞邏輯往往是其中的函數(shù)詞只表示全函數(shù)，即在論域中處處有定義的函數(shù)，本書(shū)中構(gòu)造了兩個(gè)帶函數(shù)詞的謂詞邏輯，一個(gè)里面的函數(shù)詞表示全函數(shù)，另一個(gè)里面的函數(shù)詞表示全函數(shù)或者偏函數(shù)，即在論域中并非處處有定義的函數(shù)。