平面幾何是最古老的數(shù)學(xué)分支之一，其特點(diǎn)是具有圖形的直觀性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，因此成為培養(yǎng)和考查一個(gè)人的邏輯思維能力、空間想象能力和推理論證能力的上好題材.《幾何原本》（歐幾里得著，蘭紀(jì)正、朱恩寬譯，陜西科學(xué)技術(shù)出版社2003年6月第二版）的邏輯結(jié)構(gòu)如下:第Ⅰ卷 給出了23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)、5個(gè)公理.其實(shí)歐幾里得說的公設(shè)就是我們后來所說的公理，他的公理是關(guān)于量的計(jì)算和證明的公理.分別是：公理1：等于同一個(gè)量的量相等（這里的量原文是thing）.公理2：等量加等量,其和仍相等.公理3：等量減等量,其差仍相等.公理4：彼此能重合的物體是相等的（包含了全等的情況）.公理5：整體大于部分.他給出的5個(gè)公設(shè)也就是后來我們教科書中的公理.分別是：公設(shè)1：任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線.公設(shè)2：一條有限線段可以繼續(xù)延長(zhǎng).公設(shè)3：以任意點(diǎn)為圓心及任意的距離可以畫圓.公設(shè)4：凡直角都彼此相等.公設(shè)5：同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于兩個(gè)直角的和，則這兩條直線經(jīng)無限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交. 從歐幾里得《幾何原本》建立公理化體系以后，數(shù)學(xué)上各個(gè)分支都進(jìn)行了公理化處理.1899年希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》這本書里，給出五組二十條公理：第一組接合公理I1通過任意給定的兩點(diǎn)有一直線．I2通過任意給定的兩點(diǎn)至多有一直線．I3每一直線上至少有兩點(diǎn)；至少有三點(diǎn)不同在一直線上．I4通過任意給定的不共線三點(diǎn)有一平面；每一平面上至少有一點(diǎn)．I5至多有一平面通過任意給定的不共線三點(diǎn)．I6若直線a的兩點(diǎn)A,B在平面上，則a上所有點(diǎn)都在上.這時(shí)直線a稱為在平面上，或平面通過或含有a．I7若兩平面有一公共點(diǎn)，則至少還有一公共點(diǎn)．I8至少有四點(diǎn)不同在一平面上．第二組順序公理II1若點(diǎn)B介于兩點(diǎn)A,C之間，則A,B,C是一直線上的互異點(diǎn)，且B也介于C,A之間．II2對(duì)于任意兩點(diǎn)A,B，直線AB上至少有一點(diǎn)C存在，使B介于A,C之間．II3在共線三點(diǎn)中，一點(diǎn)介于其他兩點(diǎn)間的情況不多于一次．II4（帕須公理）設(shè)A,B,C是不共線的三點(diǎn)，a是平面ABC上不通過A,B,C中任一點(diǎn)的一直線，則若a有一點(diǎn)介于A,B之間，那么它必還有一點(diǎn)介于A,C之間或介于B,C之間．第三組合同公理III1設(shè)A,B為一直線a上兩點(diǎn)，A為同一或另一直線a上的點(diǎn)，則在a上點(diǎn)A的給定一側(cè)有且只有一點(diǎn)B使線段AB合同于或等于線段AB,即AB=AB.并且對(duì)于每一線段，要求AB=BA．III2設(shè)線段AB=AB,AB=AB，則也有AB=AB．III3設(shè)AB和BC是直線a上沒有公共內(nèi)點(diǎn)的兩線段，而AB和BC是同一或另一直線a上的兩線段，也沒有公共內(nèi)點(diǎn)．如果這時(shí)有AB=AB,BC=BC，則也有AC=AC．III4在平面上給定h,k，在同一或另一平面上給定直線a，而且在平面上指定了關(guān)于直線a的一側(cè)．設(shè)h是直線a上以一點(diǎn)O為原點(diǎn)的射線，那么在平面上直線a的指定一側(cè)，有一條且只有一條以O(shè)為原點(diǎn)的射線k使h,k=h,k．每個(gè)角都要求與自身合同，即h,k=k,h以及h,k=k,h．即是說：每個(gè)角可以唯一地放在給定平面上給定射線的給定一側(cè)．III5設(shè)A,B,C是不共線三點(diǎn),而A,B,C也是不共線三點(diǎn)，如果這時(shí)有AB=AB,AC=AC,BAC=BAC,那么也就有ABC=ABC,ACB=ACB.第四組連續(xù)公理IV1（阿基米德公理）設(shè)AB和CD是任二線段，那么在直線AB上存在著有限個(gè)點(diǎn)A1,A2,…,An，排成這樣:A1介于A和A2之間，A2介于A1和A3之間，以下類推，并且線段AA1,A1A2,…,An－1An，都合同于線段CD，而且B介于A和An之間．IV2（康托公理）設(shè)在一直線a上有由線段組成的一個(gè)無窮序列A1B1,A2B2,…,其中在后的每一線段都被包含在前一個(gè)內(nèi)部，并且任意給定一線段，總有一足碼n使線段AnBn比它小．那么在直線a上存在一點(diǎn)X落在每個(gè)線段A1B1,A2B2,…的內(nèi)部．第五組平行公理通過直線外一點(diǎn)至多可引一直線平行于該直線．1899年D.希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》這本書里，還給出證明一個(gè)公理對(duì)別的公理的獨(dú)立性以及一個(gè)公理體系確實(shí)為完備的普遍原則．為完善歐幾里得幾何公理系統(tǒng)、各公理組間的邏輯關(guān)系, 希爾伯特提出了幾何公理體系的3個(gè)基本原則,那就是公理體系須具有相容性、獨(dú)立性和完備性.(1) 相容性.在公理系統(tǒng)中如果不能推導(dǎo)出兩個(gè)互相矛盾的命題（即互為反命題的命題），這個(gè)公理系統(tǒng)就稱為相容的或無矛盾的，也稱和諧的.一個(gè)公理體系如果有矛盾，它在邏輯上就不正確，更談不上在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，這種公理體系就不能成為一種理論，因此要求任何公理體系必須是相容的.(2) 獨(dú)立性.公理體系的獨(dú)立性是指該公理體系中的每條公理都有其存在的必要，即每條公理都不是其余公理的推論.否則，將此條公理去掉不會(huì)影響該公理體系的結(jié)論.所以獨(dú)立性的問題就是在保留同樣多的推論的前提下，公理體系中公理個(gè)數(shù)最少的問題.(3) 完備性.公理體系的完備性就是該體系中有足夠個(gè)數(shù)的公理，并以之為依據(jù)可推導(dǎo)出該體系的全部結(jié)論.后人評(píng)述,公理化處理是一件偉大的事情，也是一件極其艱難的事情.公理化就是抽象化．幾何空間是叫作幾何元素的對(duì)象或物的集合，它們相互間的關(guān)系滿足一定的公理要求．這樣，所謂歐幾里得空間可以看作滿足歐幾里得幾何公理要求的元素的集合，所謂羅巴切夫斯基空間可以看作滿足羅巴切夫斯基幾何公理要求的元素的集合．作為初等教育課程的平面幾何建立在怎樣的公理體系下呢？蘇聯(lián)十年制學(xué)校數(shù)學(xué)教材《幾何》（安?尼?柯爾莫柯洛夫 主編，劉遠(yuǎn)圖、余至甫等譯，人民教育出版社1978年7月第一版）的邏輯結(jié)構(gòu)如下:1. 列出不加定義的基本概念： 點(diǎn)、直線、平面、兩點(diǎn)間的距離（除了這四個(gè)概念外，其他所有的幾何概念都給出定義）.2. 用基本概念給出其他幾何概念的定義（如點(diǎn)的集合叫作幾何圖形等）.3. 給定公理（如兩點(diǎn)間距離的性質(zhì)、兩點(diǎn)確定一直線等）.4. 以公理和定義為基礎(chǔ)證明定理.蘇聯(lián)十年制學(xué)校數(shù)學(xué)教材《幾何》的初始階段主要內(nèi)容順序如下：幾何的基本概念度量和數(shù)圖形的合同與位移：平行、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱幾何作圖等腰三角形的性質(zhì)兩圓周相交三角形全等的判定（在兩圓周相交與圖形的合同的基礎(chǔ)上論證）角平分線的性質(zhì)互逆命題和互逆定理平行公理方向、射線、方向之間的角三角形的內(nèi)角和直線平行的判定平行線等分線段定理三角形的中位線多邊形（三角形、四邊形、等）此教材基本延續(xù)歐氏幾何的精髓，定義、公理、定理、運(yùn)算公式等成為這門學(xué)科的理論支撐.在當(dāng)前課程改革中,為解決幾何教學(xué)入門難問題，不少教材采取了公理擴(kuò)大化的做法：1984年(課改以前)人民教育出版社統(tǒng)編教材中的公理：（1） 兩點(diǎn)確定一條直線（2） 兩點(diǎn)間線段最短（3） 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行（4） 同位角相等，兩直線平行（5） 邊角邊（6） 角邊角（7） 矩形面積等于底乘以高1993年(一期課改)上海教育出版社教材中的公理：（1） 兩點(diǎn)確定一條直線（2） 兩點(diǎn)間線段最短（3） 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行（4） 兩直線平行，同位角相等2006年(二期課改)上海教育出版社教材中的公理：(1) 兩點(diǎn)間線段最短(2) 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行(3) 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(4) 同位角相等，兩直線平行(5) 兩直線平行，同位角相等注意：其中（3)、（4)、（5)是定理，缺失了公理兩點(diǎn)確定一直線.在三角形全等的四條判定定理(ASA、AAS、SAS、SSS)和直角三角形全等判定(HL)中,1983年《幾何》第一冊(cè)（人民教育出版社）處理為2公理3定理2004年《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)》11月第一版八年級(jí)上冊(cè)（人民教育出版社）處理為4公理1定理2007年版九年義務(wù)教育課本《數(shù)學(xué)》（北京師范大學(xué)出版社）七年級(jí)下冊(cè)處理為3公理2定理2007年版九年義務(wù)教育課本《數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）處理為3公理2定理公理擴(kuò)大化的代價(jià)是犧牲了公理體系的獨(dú)立性，如此隨意地規(guī)定公理，使得課堂教學(xué)中出現(xiàn)種種問題.例如,有的教材把三角形全等的判定定理全部作為公理,有的教材用操作實(shí)驗(yàn)（按已知條件畫一個(gè)三角形剪下，與另一個(gè)同學(xué)剪下的三角形能重合，就得出定理）替代定理證明，這兩種處理，前者混淆了公理和定理,造成公理之間可以互推,違背了公理體系的獨(dú)立性原則；后者則停留在探索實(shí)驗(yàn)階段,根本沒有進(jìn)入論證幾何.這樣的做法造成以后在勾股定理教學(xué)中，有教師讓學(xué)生畫一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm、5cm的三角形，然后量得最大角為90，于是得出勾股定理及其逆定理.當(dāng)本書作者提問這樣教是否符合論證幾何教學(xué)要求時(shí)，教師的答復(fù)是：教材里三角形全等判定定理就是用這樣的方法得出的.無獨(dú)有偶,在相似三角形判定定理的教學(xué)中，有教師為了騰出更多課時(shí)進(jìn)行題海訓(xùn)練，在新授課的定理引進(jìn)環(huán)節(jié)中，對(duì)定理不予以證明，只是指出：與全等三角形判定定理類似，相似三角形判定定理可對(duì)應(yīng)地記憶，即三邊對(duì)應(yīng)相等則兩三角形全等對(duì)應(yīng)三邊對(duì)應(yīng)成比例則兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)相等且夾角相等則兩三角形全等對(duì)應(yīng)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等則兩三角形相似；兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等則兩三角形全等對(duì)應(yīng)兩角相等則兩三角形相似，兩直角三角形的斜邊直角邊對(duì)應(yīng)相等則全等對(duì)應(yīng)兩直角三角形的斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例則相似，然后就進(jìn)入例題講解和練習(xí)環(huán)節(jié).這樣的教學(xué)或許能節(jié)約課時(shí)（如果課本上對(duì)定理有清晰的證明，或許學(xué)生可以自己閱讀），如果教材內(nèi)也不出現(xiàn)證明過程，那么這些定理就被默認(rèn)為公理了.教材的隨意性可能造成師生對(duì)知識(shí)形成過程的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).公理規(guī)定的隨意性破壞了幾何論證的有序性.試想如果對(duì)上述定理都認(rèn)定為基本事實(shí)而不證，是否在三角形全等判定之后甚至之前就可以進(jìn)行相似三角形判定的教學(xué)？勾股定理可以在任意篇章內(nèi)出現(xiàn)，定理與定理之間是否出現(xiàn)循環(huán)論證也無從查實(shí)，那么，幾何論證的核心價(jià)值邏輯何在？在初等教育的平面幾何課程中，公理擴(kuò)大化造成混亂，不是個(gè)辦法.從這一點(diǎn)上看，二十多年來，我們接觸到的各種課改教材中，還屬上海一期課改教材對(duì)公理的處理比較慎重，對(duì)三角形全等的判定和性質(zhì)定理是全部證明的.但是這套教材也有不足之處：一是它也有一條擴(kuò)大公理兩直線平行，同位角相等；二是這套教材的幾何分為三個(gè)階段直觀幾何（一至五年級(jí)）、實(shí)驗(yàn)幾何（六至七年級(jí)）、論證幾何（八至九年級(jí)），而論證幾何的理論支撐有疊合公理（或處理為線段、角相等的定義）、教材規(guī)定的4條公理和各種定義、圖形的三種運(yùn)動(dòng)：平移、旋轉(zhuǎn)、翻折（以下簡(jiǎn)稱圖形運(yùn)動(dòng)）.圖形運(yùn)動(dòng)作為實(shí)驗(yàn)幾何階段教材，沒有經(jīng)過論證進(jìn)入論證幾何，因此有直觀的成分，默認(rèn)運(yùn)動(dòng)結(jié)果所得圖形與原圖形全等.圖形運(yùn)動(dòng)如果基于直觀和實(shí)驗(yàn)，會(huì)出現(xiàn)與公理擴(kuò)大化同樣的問題.如果納入論證幾何,它的理論支撐又是什么？圖形運(yùn)動(dòng)是幾何變換，一種變換結(jié)果所得圖形與原圖形全等必須是合同變換，平面上保持任意兩點(diǎn)距離不變的變換是合同變換.丘成桐教授認(rèn)為:平面幾何所提供的不單是漂亮而重要的幾何定理，更重要的是它提供了在中學(xué)期間唯一的邏輯訓(xùn)練，是每一個(gè)年輕人所必需的知識(shí). 最近我驚訝地聽說，很多數(shù)學(xué)教育家們堅(jiān)持不教證明，原因是學(xué)生們不容易接受這種思考. 明朝利瑪竇與徐光啟翻譯了《幾何原本》這本書，徐光啟認(rèn)為這本書的偉大之處在于一環(huán)扣一環(huán)，能夠?qū)��?shù)學(xué)的真理解釋清楚，是了不起的著作.怎么樣訓(xùn)練邏輯思考比學(xué)習(xí)中學(xué)其他學(xué)科更為重要的.本書作者認(rèn)為論證幾何本身提供了一個(gè)公理體系以及推理的方法，并且要求推理的規(guī)則是順序性和嚴(yán)密性.對(duì)歐氏幾何公理體系這一文化遺產(chǎn)的研究方向，從科學(xué)發(fā)展的角度看，需要我們研究的是如何保持甚至改進(jìn)歐氏幾何這顆人類文明史上鉆石的璀璨，而不是犧牲這顆鉆石的品質(zhì).我們應(yīng)該在保持相容性、獨(dú)立性、完備性的前提下著力于研究如何盡可能減少公理的數(shù)量而非任意增加.正如我們研究數(shù)學(xué)命題時(shí)，經(jīng)常考慮在保持結(jié)論不變的情況下，能否減少條件，能否簡(jiǎn)化證法.這在數(shù)學(xué)研究中是常理.我們不能從對(duì)應(yīng)試教育的否定，走向?qū)χ�識(shí)本身的否定.對(duì)許多相信直覺、力求大概的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木珳?zhǔn)性，恰恰是非常寶貴、非常必要的思維訓(xùn)練.教材改革不能等同于課堂教學(xué)方法的花樣性.真正起作用的是教學(xué)的內(nèi)容的選取，知識(shí)的融會(huì)貫通、合理的順序及流暢性.科學(xué)的內(nèi)容讓學(xué)生習(xí)得邏輯推理的思想方法，這是可持續(xù)發(fā)展的土壤.斷章取義的教學(xué)內(nèi)容必然造成死記硬背的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是種花而不是切花.課程改革的原則之一是在保證學(xué)科科學(xué)性的前提下，刪繁就簡(jiǎn).基于以上考慮，本書的指導(dǎo)思想是：抓住平面幾何的本質(zhì),把它的邏輯體系講精,把平面幾何的公理體系邏輯脈絡(luò)理清，環(huán)環(huán)相扣，言之有理，言必有據(jù).簡(jiǎn)明扼要地講透，使學(xué)生們感受到歐氏幾何內(nèi)在的邏輯美，感受到推理證明的巨大力量.下面的例子中，分別闡述了本書對(duì)教材內(nèi)容的處理：1. 本書盡力用最少的公理構(gòu)筑初等教育的平面幾何空間.2. 本書認(rèn)為對(duì)間接證法的回避直接導(dǎo)致任意擴(kuò)大公理體系.在幾何論證中,反證法、同一法等間接證法是幾何論證中不可或缺的，是重要的數(shù)學(xué)思想方法，所以需要把間接證法作為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一.3. 本書贊同我們現(xiàn)在的教材中,對(duì)一些實(shí)數(shù)模型類的公理,采用定義的方法給出,在不影響科學(xué)性的前提下,更易于讀者理解,如:(1) 把原來對(duì)線段和角的大小比較的合同公理改為定義的形式.現(xiàn)在的教材中的定義：1） 疊合線段AB與線段CD，先使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，如果點(diǎn)B落在C、D之間，就說線段AB小于線段CD，記作AB < CD或者說線段CD大于AB, 記作 CD > AB.如果點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，就說線段AB與線段CD相等，記作AB=CD.2）移動(dòng)AOB，使它的頂點(diǎn)O及一條邊OA分別與另一個(gè)角DEF的頂點(diǎn)E及一條邊DE重合，OB和EF都落在疊合的邊的同側(cè)，如果邊OB落在DEF內(nèi)，就說AOB小于DEF，記作AOB < DEF或者說DEF大于AOB, 記作 DEF> AOB.如果邊OB與邊EF重合，就說AOB與DEF相等，記作AOB=DEF.(2) 把存在性也包含在平行公理中.嚴(yán)格的公理體系中平行公理是通過不在直線上的一點(diǎn)至多可以引一條直線與該直線平行.它只保證了平行線的唯一性而不保證存在性，現(xiàn)在的教材敘述為過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行，把存在性也包含在平行公理中.4. 本書認(rèn)為我們現(xiàn)在的教材中,把線段作為默認(rèn)的概念，用線段的長(zhǎng)來定義兩點(diǎn)間的距離是有科學(xué)性問題的：①定義連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫作兩點(diǎn)間的距離;②在例題、練習(xí)題和考試題中，規(guī)定了線段的長(zhǎng)度不能為零，兩點(diǎn)間距離可以為零.于是出現(xiàn)矛盾：①距離是長(zhǎng)度，長(zhǎng)度不能為零；②距離卻可以為零.這個(gè)矛盾的根源在于用取值范圍小的量（線段的長(zhǎng)度不能為零）來定義取值范圍大的量（兩點(diǎn)間距離可以為零），其實(shí)是用子概念（線段的長(zhǎng)）來定義母概念（兩點(diǎn)間距離）.基于這個(gè)原因，本書采用了蘇聯(lián)教材的結(jié)構(gòu)：把兩點(diǎn)間的距離作為基本概念，用兩點(diǎn)距離來定義線段的長(zhǎng).5. 平面幾何是研究平面圖形在運(yùn)動(dòng)、變化過程中的不變性質(zhì)和不變量的科學(xué).本書認(rèn)為圖形運(yùn)動(dòng)是建立在合同變換基礎(chǔ)上的有科學(xué)依據(jù)的重要的數(shù)學(xué)思想方法，是足以作為推理依據(jù)的證明手段，合理結(jié)合運(yùn)用歐幾里得公理4（彼此能重合的物體是相等的）及反證法、同一法完全可以在初中學(xué)生理解力的范圍內(nèi)解決現(xiàn)在被擴(kuò)大為公理的幾個(gè)命題的證明，可以避免任意擴(kuò)大公理體系.為了解決如何把原來實(shí)驗(yàn)幾何中的三種圖形運(yùn)動(dòng)納入到論證幾何的問題，本書采取提早定義向量，把向量作為證明平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)符合平面上保持任意兩點(diǎn)距離不變的變換是合同變換的基礎(chǔ)，從而使圖形運(yùn)動(dòng)納入論證幾何獲得了理論支撐.由此，可以使平面幾何成為在三條公理及由此推出的120條定理所構(gòu)成的論證幾何體系.6. 本書認(rèn)為對(duì)勾股定理這樣具有表達(dá)形式簡(jiǎn)單、記憶使用容易、證明難以提前特點(diǎn)的知識(shí)，還是應(yīng)該遵循知識(shí)產(chǎn)生的順序性，給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，不宜刪去部分證明過程后隨意提前出現(xiàn).如果提前出現(xiàn)，也必須事后補(bǔ)證.現(xiàn)在的一些教材中對(duì)這個(gè)問題的處理是提前出現(xiàn)，不完整證明，事后不補(bǔ)，這樣既破壞定理證明的完整性又破壞教材內(nèi)部結(jié)構(gòu)的順序,是不妥當(dāng)?shù)?7. 傳統(tǒng)的平面幾何中，定義的多邊形和圓都是點(diǎn)和線組成的封閉圖形，所以在四邊形之前的部分都是先對(duì)邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、角進(jìn)行計(jì)算.在四邊形之后，定義了封閉圖形的面積并論述了矩形面積公式，才進(jìn)入圖形面積計(jì)算.對(duì)矩形面積公式的導(dǎo)出也有不同的處理方式，即有的直接作為公理給出,有的作為定理證出.而現(xiàn)在幾乎所有的教材中都不做任何交代.本書根據(jù)公理的三性原則，能證的就作定理.為避免繁瑣，用閱讀形式給出了證明過程的簡(jiǎn)述.8. 應(yīng)用性軟件幾何畫板的出現(xiàn)并得到日益廣泛的應(yīng)用，使得古老的尺規(guī)作圖的原理和思想方法有了重要的現(xiàn)代意義和使用價(jià)值.中學(xué)教材也應(yīng)及時(shí)作出反應(yīng)，把基本尺規(guī)作圖作為學(xué)生應(yīng)該掌握的一種技能來設(shè)計(jì)問題，使得基本尺規(guī)作圖與幾何知識(shí)建構(gòu)具有緊密的聯(lián)系.草以綠貴,樹以根貴，畫以神貴,書以理貴.本書盡量把樹根展現(xiàn)給讀者.