第5章插值擬合

　　在科技工程中，除了要進(jìn)行一定的理論分析外，通過實(shí)驗(yàn)對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、處理也是必不可少的一種方法。由于實(shí)驗(yàn)測定實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)據(jù)具有一定的代表性，因此在處理時必須充分利用這些信息，又由于測定過程中不可避免會產(chǎn)生誤差，故在分析經(jīng)驗(yàn)公式時又必須考慮這些誤差的影響，兩者相互制約。因此，合理建立實(shí)際系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法稱為數(shù)值逼近法。MATLAB提供了豐富的函數(shù)指令實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的數(shù)值逼近，本章具體講解數(shù)據(jù)的插值與分析等內(nèi)容。

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)：

　　�r學(xué)習(xí)和掌握插值擬合原理；

　　�r熟練掌握運(yùn)用MATLAB(工具箱)進(jìn)行數(shù)據(jù)插值擬合；

　　�r掌握和運(yùn)用插值擬合思想解決具體工程實(shí)際問題。

　　5.1插值問題

　　工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要從一組實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)中，求自變量x與因變量y的一個近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)。

　　例如觀測行星的運(yùn)動，只能得到某時刻t所對應(yīng)的行星位置si(用經(jīng)緯度表示)，想知道行星在任何時刻t的位置。又如，大氣壓測定問題、導(dǎo)彈發(fā)射問題、程序控制銑床加工精密工件問題、飛機(jī)船舶制造問題等都屬于此類問題。

　　因?yàn)榭紤]到代數(shù)多項(xiàng)式既簡單又便于計算，所以就用代數(shù)多項(xiàng)式近似地表示滿足n個點(diǎn)yi=f(xi)(i=1,2,3,…,n)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(xi)，此即為插值法。

　　5.1.1拉格朗日插值

　　已知n+1個數(shù)據(jù)點(diǎn)：(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)，n次拉格朗日插值公式為

　　Ln=∑ni=0yi∏nj=0,

　　j≠ix－xjxi－xj

　　特別地：當(dāng)n=1時，有

　　L1=y0x－x1x0－x1+y1x－x0x1－x0

　　當(dāng)n=2時，有

　　L2=y0(x－x1)(x－x2)(x0－x1)(x0－x2)+y1(x－x0)(x－x2)(x1－x0)(x1－x2)+y2(x－x0)(x－x1)(x2－x0)(x2－x1)

　　稱為拋物線插值或二次插值。

　　在MATLAB中編程實(shí)現(xiàn)的拉格朗日插值法函數(shù)為lagrange()。

　　調(diào)用格式：

　　f=lagrange(x,y)

　　或

　　f=lagrange(x,y,x0)

　　其中，x為已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的x坐標(biāo)向量；y為已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的y坐標(biāo)向量；x0為插值點(diǎn)的x坐標(biāo)；f為求得的拉格朗日插值多項(xiàng)式或在x0處的插值。

　　編寫拉格朗日插值函數(shù)如下：

　　functiony=lagrange(x0,y0,x)

　　n=length(x0);

　　m=length(x);

　　fori=1:m

　　z=x(i);

　　s=0;

　　fork=1:n

　　p=1;

　　forj=1:n

　　ifj~=k

　　p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

　　end

　　end

　　s=s+p*y0(k);

　　end

　　y(i)=s;

　　end

　　end