我們進(jìn)一步發(fā)展了線性回歸分析理論，它不再局限于模型矩陣X是固定的前提下。如果重復(fù)一個(gè)研究，我們期望因變量y能變化，但是由于X是固定的，那么在重復(fù)研究中自變量的值為常數(shù)。這種情形描述了實(shí)驗(yàn)的真實(shí)情況，因?yàn)樽宰兞渴怯裳芯空呖刂频�。然而，對于大多�?shù)的社會(huì)學(xué)研究，數(shù)據(jù)都是觀測到的而不是實(shí)驗(yàn)控制得來的；在一個(gè)觀測研究中（例如調(diào)查研究），我們一般會(huì)在重復(fù)研究中得到不同的解釋變量。所以，在觀測研究中，X是隨機(jī)的而非固定的。
　　只要符合某些條件，線性回歸統(tǒng)計(jì)學(xué)理論同樣適用于X是隨機(jī)的情況。對于固定的自變量，其前提假設(shè)為。即所有模型矩陣的離散行的誤差分布是相同的。當(dāng)X為隨機(jī)變量時(shí)，我們需要假設(shè)這個(gè)性質(zhì)對于樣本總體中所有可能的自變量組合都成立：即假設(shè)X和是獨(dú)立的，那么樣本中取值為的自變量誤差的條件分布為，不管選取的是哪個(gè)特定樣本。
　　因?yàn)閄是隨機(jī)的，所以它存在一些（多元）概率分布。我們不需要對這些分布給定假設(shè)，但是我們需要：（1）要求對X的測定不存在誤差，且X和是獨(dú)立的（如前所述）；（2）假設(shè)X的分布跟模型回歸參數(shù)無關(guān)；（3）規(guī)定X的協(xié)方差矩陣是非奇異的（即在總體中沒有X是不變的，或者說沒有一個(gè)X是其它變量的完美線性函數(shù)）。特別是，我們不用假設(shè)回歸元（和誤差相比較）是正態(tài)分布的。這樣會(huì)好很多，因?yàn)樵S多X是非正態(tài)的，如虛擬變量和多項(xiàng)式變量，還有其它許多定量解釋變量。
　　雖然沒必要不斷重復(fù)，但是我會(huì)指出隨機(jī)解釋變量在新假設(shè)下的一些關(guān)鍵結(jié)果。其它結(jié)果可以此類推。
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