第2章 土中的應(yīng)力計算

　　學(xué)習(xí)要點

　　掌握不同情況下土中自重應(yīng)力的計算方法以及分布規(guī)律；熟悉基底壓力的分布形式，掌握基底壓力和基底附加壓力計算方法；掌握各種荷載分布形式下地基中附加應(yīng)力的分布規(guī)律及計算方法，理解應(yīng)力擴散的概念；熟悉太沙基有效應(yīng)力原理。

　　2.1 概 述

　　土中的應(yīng)力分析是土工設(shè)計的一項重要內(nèi)容。土體作為建筑物的地基，在建筑物載荷作用下將產(chǎn)生應(yīng)力、變形，使建筑物發(fā)生沉降、傾斜、水平位移。土體的變形過大時，往往會影響建筑物的正常和安全使用；此外，土體中應(yīng)力過大時也會導(dǎo)致土的強度破壞，甚至使土體發(fā)生滑動失去穩(wěn)定。因此，通過研究土體中應(yīng)力的大小和分布規(guī)律，能夠進(jìn)一步分析土體的變形及強度、土工結(jié)構(gòu)物的變形及穩(wěn)定等問題。

　　一般而言，土體中的應(yīng)力主要包括兩種：

　　(1) 土體自身重力產(chǎn)生的自重應(yīng)力(self-weigh stress)。

　　(2) 由建筑物荷載、車輛荷載、土中水的滲流力、地震等的作用所引起的附加應(yīng)力(additional stress)。

　　對土中應(yīng)力的研究可借助于古典彈性理論的方法。

　　古典彈性理論研究的對象是連續(xù)的、均勻的、完全彈性和各向同性的介質(zhì)，而實際的土體是非連續(xù)的、非均勻的、非完全彈性的，且常表現(xiàn)為各向異性。雖然土體的實際情況與彈性體的假設(shè)有差別，但在一定的條件下引用古典彈性理論研究土體中的應(yīng)力是合理的，其分析如下。

　　(1) 連續(xù)體：指整個物體所占據(jù)的空間都被介質(zhì)填滿，不留任何空隙。而土是由顆粒堆積而成的具有孔隙的非連續(xù)體，土中應(yīng)力是通過土顆粒間的接觸點而傳遞的。但是由于建筑物的基礎(chǔ)面積尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于土顆粒尺寸，而我們所研究的土體在通常應(yīng)力下的變形和強度是對整個土體而言，而不是對單個土顆粒而言，因此我們只需了解整個受力面上的平均應(yīng)力，而不需要研究單個顆粒上的受力狀態(tài)，所以可以忽略土分散性的影響，近似地把土體作為連續(xù)體考慮。

　　(2) 完全彈性體：指受力體中應(yīng)力增加時，應(yīng)力-應(yīng)變之間呈直線關(guān)系，應(yīng)力減小后變形能完全恢復(fù)的物體。而變形后的土體，當(dāng)外力卸除后不能完全恢復(fù)原狀，存有較大的殘余變形。但是在實際工程中土中應(yīng)力水平較低，土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系接近于線性關(guān)系，可以應(yīng)用彈性理論方法進(jìn)行分析。

　　(3) 各向同性：主要指受力體的變形性質(zhì)是各向同性的。但土在形成過程中具有各種結(jié)構(gòu)與構(gòu)造，因此天然地基常常是各向異性的，將土看作各向同性有一定的誤差。

　　(4) 勻質(zhì)體：指整個受力體各點的性質(zhì)都是相同的。自然界中土體具有成層性，當(dāng)各層土的性質(zhì)相差不大時，將土作為勻質(zhì)體所引起的誤差不大。

　　如圖2-1所示，將土體看作一個半無限空間體，x軸和y軸無限延伸所夾的平面為土體的表面，土體深度延伸的方向為z軸的正方向。土中某點M的應(yīng)力狀態(tài)可以用一個正六面體上的應(yīng)力來表示，如圖2-2所示。單元體上的3個法向應(yīng)力分量為、、，6個剪應(yīng)力分量為，，。剪應(yīng)力下角標(biāo)的前面一個英文字母表示剪應(yīng)力作用面的外法線方向，后一個字母表示剪應(yīng)力的作用方向。

　　應(yīng)該注意，在土力學(xué)中法向應(yīng)力以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)。剪應(yīng)力方向的規(guī)定是當(dāng)剪應(yīng)力作用面上的外法線方向與坐標(biāo)的正方向一致時，剪應(yīng)力的方向與坐標(biāo)軸正方向一致時為負(fù)，反之為正；若剪應(yīng)力作用面上的外法線方向與坐標(biāo)軸正向相反時，則剪應(yīng)力的方向與坐標(biāo)軸正方向一致時為正，反之為負(fù)。圖2-2中所示的法向應(yīng)力及剪應(yīng)力均為正值。

　　圖2-1 半無限空間體 圖2-2 土中一點應(yīng)力狀態(tài)

　　土體中的應(yīng)力狀態(tài)一般有三種類型。

　　1. 三維應(yīng)力狀態(tài)

　　在半無限空間體表面上作用局部荷載時，土體中的應(yīng)力狀態(tài)屬于三維應(yīng)力狀態(tài)(即空間應(yīng)力狀態(tài))。此時，土體中任一點的應(yīng)力都與x、y、z三個坐標(biāo)有關(guān)，該點的應(yīng)力分量用矩陣的形式表示為

　　2. 二維應(yīng)變狀態(tài)

　　當(dāng)半無限空間體表面上作用分布荷載(如路堤或擋土墻下地基)，其一個方向的尺寸遠(yuǎn)大于另一個方向的尺寸，并且每個橫截面上的應(yīng)力大小和分布形式均一樣時，在地基中引起的應(yīng)力狀態(tài)即可簡化為二維應(yīng)變狀態(tài)(即平面應(yīng)變狀態(tài))。此時，沿長度方向切出的任一xOz截面均可認(rèn)為是對稱面，其任一點的應(yīng)力只與x、z兩個坐標(biāo)有關(guān)，并且沿y軸方向的應(yīng)變=0。根據(jù)對稱性，有，其應(yīng)力分量用矩陣的形式表示為

　　3．側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)

　　側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)是指側(cè)向應(yīng)變?yōu)榱愕囊环N應(yīng)力狀態(tài)，如地基在自重作用下的應(yīng)力狀態(tài)即屬于此種應(yīng)力狀態(tài)。若將地基土體視為半無限彈性體，則在地基同一深度z處，土單元體沿x軸和y軸的受力條件均相同，因此土體無側(cè)向變形，只有豎直方向的變形。此時，任何豎直面均可看成是對稱面，故在任何豎直面和水平面上，，其應(yīng)力矩陣可表示為

　　2.2 土中自重應(yīng)力

　　若土體是均勻的半無限體，則在半無限土體中任意取的截面都是對稱面，根據(jù)側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力矩陣可知該對稱面又是一主平面。對于勻質(zhì)土，由于地面以下任一深度處豎向自重應(yīng)力都是均勻的且無限分布的，所以在自重應(yīng)力作用下地基土只產(chǎn)生豎向變形，而無側(cè)向位移及剪切變形，即≠0，==0，===0。

　　如圖2-3所示，若取四平面所夾的土柱體為脫離體，則該脫離體上作用的力有：土柱體的重力W；土柱體底面的反力；側(cè)向土壓力和。根據(jù)豎直方向的靜力平衡條件，W=×A(A為土柱體的橫截面面積)。

　　圖2-3 均勻土自重應(yīng)力分布

　　2.2.1 均質(zhì)土體中的自重應(yīng)力

　　當(dāng)?shù)鼗�是均質(zhì)土?xí)r，在深度z處，則，即

　　(2-1)

　　式中：--土的天然重度(kN/m3)；

　　--z平面上由土體本身自重產(chǎn)生的應(yīng)力(kPa)。

　　土體中自重應(yīng)力分布范圍是土體存在的半無限空間范圍。從公式(2-1)可知，自重應(yīng)力隨深度z線性增加，沿水平面均勻分布，如圖2-3所示。

　　地基土在自重的作用下，除受豎向正應(yīng)力作用外，還受水平向正應(yīng)力作用。根據(jù)彈性力學(xué)原理可知，水平向正應(yīng)力、與成正比，而水平向及豎向的剪應(yīng)力均為零，即

　　(2-2)

　　(2-3)

　　式中：K0--土的側(cè)壓力系數(shù)(或靜止土壓力系數(shù))。

　　2.2.2 成層土體中的自重應(yīng)力

　　地基土體往往是成層狀的，由于各土層具有不同的重度，故深度z處的豎向自重應(yīng)力可按下式計算：

　　(2-4)

　　式中：n--從天然地面起到深度z處的土層數(shù)；

　　--第層土的厚度(m)；

　　--第層土的天然重度(kN/m3)。

　　由公式(2-4)可知，成層土自重應(yīng)力在土層分界面處發(fā)生轉(zhuǎn)折，沿豎直方向分布呈折線形，如圖2-4所示。

　　必須指出，這里所討論的土中自重應(yīng)力是指土顆粒之間接觸點傳遞的應(yīng)力，該粒間應(yīng)力使土粒彼此擠緊，不僅會引起土體變形，而且也會影響土體的強度，所以粒間應(yīng)力又稱為有效應(yīng)力(詳見本章第5節(jié))。本節(jié)所討論的自重應(yīng)力都是有效自重應(yīng)力。以后各章有效自重應(yīng)力均簡稱為自重應(yīng)力。

　　2.2.3 土層中有地下水時的自重應(yīng)力

　　計算地下水位以下土的自重應(yīng)力時，應(yīng)根據(jù)土的性質(zhì)確定是否需要考慮水的浮力作用。若受到水的浮力作用，則水下部分土的重度應(yīng)按土層的浮重度(有效重度)來計算，如圖2-5所示。

　　圖2-5 有地下水時土中應(yīng)力分布

　　在地下水位以下，如果埋藏有不透水層(例如巖層或只含結(jié)合水的堅硬黏土層)，由于不透水層中不存在自由水產(chǎn)生的浮力，故不透水層頂面及層面以下土中的應(yīng)力應(yīng)按上覆土層的水土總重計算，且土的自重應(yīng)力計算采用土層的實際天然重度而不再按有效重度考慮，因此上覆土層與不透水層交界面處的自重應(yīng)力將發(fā)生突變，如圖2-6所示。

　　如圖2-7所示，水下地基土中應(yīng)力的計算可按如下方式考慮：若為完全透水的砂土層，不論河水深淺，計算自重應(yīng)力時應(yīng)考慮浮力的影響；若為不透水層，不考慮浮力的影響，且深度的河水等于加在河床底面上的滿布壓力，此時河底不透水層中深度z處的壓力為

　　(2-5)

　　圖2-6 有地下水時成層土中豎向自重應(yīng)力分布 圖2-7 水下地基土中應(yīng)力分布

　　由于地下水位以下土的自重應(yīng)力取決于土的有效重度，則地下水位的升降會引起土體自重應(yīng)力的變化，如圖2-8所示。如果因大量抽取地下水導(dǎo)致地下水位大幅度下降，使地基中原地下水位與變動后水位之間土層的有效自重應(yīng)力增加，如圖2-8(a)所示。增加的有效自重應(yīng)力相當(dāng)于附加應(yīng)力的作用，使地基產(chǎn)生沉降(地基的沉降也有固結(jié)變形的作用，參見第4章)。相反，由于某種原因，如筑壩蓄水、農(nóng)業(yè)灌溉以及工業(yè)用水大量滲入地下等，造成地下水位的長期上升，如圖2-8(b)所示，如果該地區(qū)的土體具有濕陷性或膨脹性，則會導(dǎo)致一些工程問題，對此應(yīng)引起充分重視。

　　圖2-8 地下水位升降對地基自重應(yīng)力的影響

　　O-1-2線為原來自重應(yīng)力的分布；O-1'-2'為地下水位變動后自重應(yīng)力的分布

　　【例2-1】某土層及其物理性質(zhì)指標(biāo)如圖2-9所示，計算土中自重應(yīng)力。

　　圖2-9 例2-1圖

　　解：*層土為細(xì)砂，地下水位以下的細(xì)砂受到水的浮力作用，其浮重度為

　　第二層黏土層浮重度為

　　a點：0，=0。

　　b點：，19×2=38(kPa)。

　　c點：，=19×2+10×3=68(kPa)。

　　d點：，19×2+10×3+7.1×4=96.4(kPa)。

　　土層中的自重應(yīng)力的分布圖如圖2-9所示。

　　【例2-2】計算圖2-10所示水下地基土中的自重應(yīng)力分布。

　　解：水下粗砂層受到水的浮力作用，其浮重度為

　　=19.5-9.81=9.69(kN/m3)

　　圖2-10 例2-2圖

　　該堅硬黏土層為不透水層，不受水的浮力作用，因此該層面以下的應(yīng)力應(yīng)按上覆土層的水土總重計算，則土中各點的應(yīng)力：

　　a點：0，0。

　　b點：10m，若該點位于粗砂層中， =9.69×10=96.9(kPa)；

　　若該點位于堅硬黏土層中：=96.9+9.81×13=224.43(kPa)。

　　c點：15m，224.43+19.3×5=320.93(kPa)。

　　土中自重應(yīng)力的分布圖如圖2-10所示。

　　2.3 基礎(chǔ)底面壓力及其簡化計算

　　建筑物荷載是通過基礎(chǔ)傳遞到地基土中的，因此在基礎(chǔ)底面與地基土之間便產(chǎn)生了接觸應(yīng)力。在外部荷載作用下基礎(chǔ)底面壓力的大小及其分布形式將對地基土中的應(yīng)力大小及分布規(guī)律產(chǎn)生直接影響。因此，在計算地基中附加應(yīng)力及設(shè)計基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)時，都必須研究基底壓力的分布規(guī)律。

　　2.3.1 基底壓力的分布規(guī)律

　　基底壓力(contact pressure)分布的問題是涉及基礎(chǔ)與地基土兩種不同物體間的接觸壓力問題，在彈性理論中稱為接觸壓力課題。這是一個比較復(fù)雜的問題，影響它的因素很多，如基礎(chǔ)的剛度、形狀、尺寸、埋置深度以及土的性質(zhì)、荷載大小等。目前在彈性理論中主要研究不同剛度的基礎(chǔ)與彈性半空間體表面間的接觸壓力分布問題。下面著重分析基礎(chǔ)剛度的影響。

　　從理論概念上可將各種基礎(chǔ)按其與地基土的相對抗彎剛度(EI)分成三類，即理想柔性基礎(chǔ)、理想剛性基礎(chǔ)和有限剛性基礎(chǔ)。

　　1. 理想柔性基礎(chǔ)

　　理想柔性基礎(chǔ)如圖2-11(a)所示，假定其基礎(chǔ)的抗彎剛度EI=0，故可以完全適應(yīng)地基的變形。這種情況下，基底壓力的分布與作用在基礎(chǔ)上的荷載完全一致，如荷載是均勻的，則基底壓力分布也是均勻的。反之，在均布荷載作用下，地基的變形呈中心大、邊緣小的凹形。如果要使柔性基礎(chǔ)各點的變形相等，需施加中間小、兩邊大的非均布荷載[如圖2-11(a)中虛線所示]。實際上沒有EI=0的理想柔性基礎(chǔ)，可以近似地將路堤、土壩等視作理想柔性基礎(chǔ)，如圖2-11(b)所示。

　　圖2-11 理性柔性基礎(chǔ)下的壓力分布

　　2. 理想剛性基礎(chǔ)

　　對于理想剛性基礎(chǔ)，可假定其基礎(chǔ)的抗彎剛度EI=∞，即在外荷載作用下基礎(chǔ)本身為不變形的絕對剛體。在中心荷載作用下，理想剛性基礎(chǔ)各點豎向變形相同。如果地基是完全彈性體，根據(jù)彈性理論解得的基底壓力分布如圖2-12(a)中實線所示，邊緣應(yīng)力為無窮大。

　　3. 有限剛性基礎(chǔ)

　　理想剛性基礎(chǔ)中的應(yīng)力狀態(tài)在實際上是不可能存在的，因為基底壓力不可能超過土的極限強度。當(dāng)作用的荷載較大時，基礎(chǔ)邊緣由于應(yīng)力很大，將會使土產(chǎn)生塑性變形，邊緣應(yīng)力不再增加，而使中央部分繼續(xù)增大。而基礎(chǔ)也不是絕對剛性，因此應(yīng)力重分布的結(jié)果是使基底壓力分布呈各種復(fù)雜的形式。實際壓力如圖2-12(a)中虛線所示，基底壓力分布呈馬鞍形，中央小而兩邊大；或重新分布而呈拋物線形分布，如圖2-12(b)所示；若作用荷載繼續(xù)增大，則基底壓力會繼續(xù)發(fā)展呈倒鐘形分布，如圖2-12(c)所示。橋梁墩臺的擴大基礎(chǔ)、重力式碼頭、擋土墻、大塊墩柱等可視作剛性基礎(chǔ)。

　　(a) 馬鞍形分布 (b) 拋物線形分布 (c) 倒鐘形分布

　　圖2-12 剛性基礎(chǔ)下的壓力分布

　　此外，試驗研究結(jié)果表明，剛性基礎(chǔ)底面的壓力分布形狀不僅與荷載大小有關(guān)，而且與基礎(chǔ)的埋置深度及土的性質(zhì)有關(guān)。

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