（修訂版）折紙設(shè)計的秘密——折紙模型中的數(shù)學(xué)世界前言（修訂版）2006年在出版第1版《折紙設(shè)計的秘密》后，我收到了許多讀者反饋。每學(xué)期我都會收到眾多讀者發(fā)來的郵件，他們曾經(jīng)通過這樣或那樣的途徑使用過這本書。在這些讀者之中，有的是大學(xué)教授，有的是中學(xué)教師。他們告訴我講授書中的某些章節(jié)時效果很好，或者告訴我他們有個好主意，又或者是某一種教學(xué)方式對學(xué)生很適用。還有些郵件來自學(xué)生，他們咨詢我對于正在嘗試的某個項目有何建議，或者希望獲得更多資源以便進一步深入拓展。還有一些郵件來自熱愛折紙數(shù)學(xué)藝術(shù)的粉絲們，以及那些因為此書希望感謝我的人。 

       當(dāng)然，我自己也常常使用這本書。我在莫瑞麥克學(xué)院和西新英格蘭大學(xué)教授好幾門關(guān)于折紙數(shù)學(xué)的課程。每當(dāng)我教大學(xué)幾何、多變量微積分或圖論時，我都會從這本書中選取課程案例。 

       當(dāng)過老師的人都明白，教學(xué)活動不是單向的，并不是說信息單方面從老師流向?qū)W生，而更像是一種回饋式的互動。在觀察學(xué)生們學(xué)會教材內(nèi)容并對其做出反應(yīng)的同時，教師們自身也會學(xué)習(xí)到很多新東西。因此，在收到讀者來信后，加上我多年來的教學(xué)經(jīng)驗，開發(fā)一本新教材的想法很自然就產(chǎn)生了。與學(xué)生們和同事們的交流給我?guī)�來了許多靈感。有時，學(xué)生們自己在網(wǎng)絡(luò)上或書本中發(fā)現(xiàn)了一個折紙模型后，向我拋出關(guān)于這個模型的數(shù)學(xué)問題。此外，在我打算出第2版書之前，我自己也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了六七個折紙數(shù)學(xué)教材。當(dāng)我意識到這些后，我明白，出第2版書的時機已經(jīng)到了。 

        無論是自己激動萬分發(fā)現(xiàn)的新材料，還是其他人在使用第1版書時發(fā)現(xiàn)的新材料，無疑都是出版新書時令人開心的一面。但同樣令人窘迫的是，任何一本包含大量信息而且被廣泛使用的書中小錯誤總是難免的。大多數(shù)錯誤（有些是我自己發(fā)現(xiàn)的）屬于拼寫類錯誤或者是為了省略而造成了令人遺憾的錯誤，這些都是很容易被發(fā)現(xiàn)并可以彌補的。然而，有些錯誤屬于數(shù)學(xué)范疇，盡管第1版初稿經(jīng)過全國多所大學(xué)、學(xué)院教授及其學(xué)生們的詳盡測試，有些數(shù)學(xué)錯誤仍然成為漏網(wǎng)之魚。 

       這些錯誤中最糟糕的莫過于“五個交叉四面體”。第1版中關(guān)于這一課的解決方案已經(jīng)很接近完美，但并非百分之百的準(zhǔn)確。在第2版中對這個錯誤進行了更正，事實上，是給出了比第1版更為簡捷的新方案。 

       在準(zhǔn)備出版《折紙設(shè)計的秘密》（第2版）的過程中，我終于有機會用一種挑剔的眼光來重新通讀全書。我很高興，同時又很驚奇地發(fā)現(xiàn)，在本書第一次出版5年后的今天，我原先所堅持的要用最簡單的辦法來展示或教授這些教材的觀點已經(jīng)發(fā)生了改變。甚至是相對更為直截了當(dāng)?shù)卣故窘Y(jié)果，比如平頂點折疊的矩陣模型看起來也可能有所改善。就這樣，我對第1版中幾乎所有的課程教材都進行了修訂，解決方案和教學(xué)法部分也在書中多處予以改進。 

       以我個人的觀點，第2版比第1版更棒。不僅目錄從原先的22章擴充到30章，新增加了100多頁內(nèi)容，我個人以及其他數(shù)十人（將在致謝中一一提及）這些年來的感受和經(jīng)驗也大大完善了課程教材的許多內(nèi)容。我希望你也會同意這一點：這本書確實值得一讀！ 

      托馬斯·赫爾西新英格蘭大學(xué)馬薩諸塞州斯普林菲爾德市 

      我為什么寫這本書？我希望本書能成為眾多關(guān)于折紙數(shù)學(xué)書籍中的第一選擇。此書源自我對折紙和數(shù)學(xué)這兩大主題的畢生熱愛。我從8歲便開始接觸折紙，當(dāng)時叔叔送給了我一本折紙的指導(dǎo)書。盡管這本從日文翻譯過來的書中有很多地方語焉不詳，翻譯模糊，我還是設(shè)法琢磨出很多內(nèi)容，但由于各種原因，仍然有一些沒想明白。不過與此同時，我也意識到，我很擅長數(shù)學(xué)，尤其是從加法和乘法中發(fā)現(xiàn)的模式簡單易記也很有趣。我還清楚地記得，正是在那些年里，我開始注意到折紙和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。我折了一個動物，可能是經(jīng)典的拍鳥。我沒有把它放在我那不斷增多的折疊模型盒子中，而是仔細(xì)地展開它。在展開的紙張上，折線的模式復(fù)雜又可愛。很顯然，在我看來，這其中蘊藏著一些數(shù)學(xué)的東西。線條的模式必須遵循一些幾何規(guī)則。但在當(dāng)時，了解這些規(guī)則遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我的理解能力。 

       上大學(xué)時，我再度與折紙和數(shù)學(xué)相遇。那時，我已精通復(fù)雜高水平的折紙，并且閱讀了大量書籍，包括John Montroll，Robert Lang，Jun Maekawa，以及Peter Engel的書（參見本書后的參考文獻［Eng89］，［Kas83］，［Lang95］，［Mon79］）。我參加過紐約市的一些折紙大會［由非營利性組織主辦，現(xiàn)在被稱為“美國折紙協(xié)會”（Origami USA）］�…�Origami USA:美國折紙協(xié)會，甚至還自己發(fā)明了一些折紙設(shè)計。我上過一些數(shù)學(xué)課，正在考慮以數(shù)學(xué)科學(xué)作為我的職業(yè)生涯。但就在這時發(fā)生了一件事，迫使我開始思考和探索折紙與數(shù)學(xué)的交集。我得到了Kunihiko Kasahara和Toshie Takahama創(chuàng)作的一本經(jīng)典書《折紙鑒賞家》（參見［Kas87］）。起初，我以為這只是另一本復(fù)雜一些的折紙書。其實，我買它是因為其中包含了John Montroll的著名劍龍模型說明（細(xì)節(jié)描述無可挑剔，由一張未經(jīng)裁剪的正方形紙做成）。當(dāng)時我一點也不知道，這本書其實還包含一些指導(dǎo)說明，而這些會是在未來緊緊吸引我的興趣愛好，我仿佛上癮一般，沉迷其中數(shù)十小時。 

       這本書帶領(lǐng)我第一次接觸了模塊化折紙，將許多小方塊紙張折成相同的“組件”，接著將這些組件鎖定在一起，形成各種形狀。《折紙鑒賞家》中的組件使人們可以做出所有正多面體的代表：立方體、四面體、八面體、十二面體和二十面體。而在此之前，我對這些物體只有大致的了解，但在我折疊了許多，有時甚至是上百個組件來制作這些正多面體和其他多面體后，我才逐漸熟悉了它們�？梢院敛豢鋸埖卣f，模塊化折紙是我認(rèn)識多面體幾何物體的第一導(dǎo)師。 

       對我來說，現(xiàn)在回想起來能很快就明白到底發(fā)生了什么事，而在當(dāng)時，我只知道自己對折紙感興趣，可以做一些具有漂亮幾何形狀的物體來裝飾我的宿舍。折紙教會了我，并且給了我一個環(huán)境，讓我去探索和掌握各種多面體的特性。比如，在每個頂點周圍，我應(yīng)該如何安排一個個小組件，使之形成立方八面體？每種顏色的組件我需要多少個，才能做出三十二面體的有趣著色？從那以后直到在研究生院當(dāng)教授的多年間，我一直在盡我所能地收集一切和折紙數(shù)學(xué)相關(guān)的材料，先是在莫瑞麥克學(xué)院，后來是西新英格蘭大學(xué)。由于很多來源很難找到，或者僅僅是對潛在模式的暗示，所以我常常不得不自己做研究，把這些零星碎片拼在一起。在此過程中，我看到折紙與各種各樣數(shù)學(xué)主題的交集，從更明顯的幾何領(lǐng)域到代數(shù)、數(shù)論和組合。似乎我了解的越多，折紙與數(shù)學(xué)重疊的領(lǐng)域也就越多。 

       在收集折紙數(shù)學(xué)材料的同時，我開始向大學(xué)生、高中生，以及他們的老師做關(guān)于這一主題的講座。自那以后，他們對折紙作為數(shù)學(xué)教學(xué)工具的興趣變得非常濃厚。老師們會經(jīng)常問我，他們可以在哪里找到如何在他們班的課堂上使用折紙的詳細(xì)信息。后來出了幾本書，如參考文獻［Fra99］，提供了一些方式，可以使用模塊化折紙來教授幾何概念，但這些都不是針對大學(xué)水平做的，也沒有觸及折紙能夠提供的各類主題。 

      因此，我寫了這本書。我的目標(biāo)是將我所發(fā)現(xiàn)的很多數(shù)學(xué)折紙內(nèi)容編輯在一起，將它們按照一種比較容易讓大學(xué)或高中教師在課堂上使用的方式加以呈現(xiàn)。 

      如何使用這本書本書包含內(nèi)容涵蓋了多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域。出書的目的是讓數(shù)學(xué)老師能找到可用的教材，不管是教大學(xué)還是教高中課程。每一章一開始是可能適合的課程列表。 

      但很重要的一點是，必須認(rèn)識到許多教材都可以有效應(yīng)用于不同水平的課程之中。例如，角三等分的活動在高中幾何教師之間已經(jīng)非常普及，但它同樣也可以用在高等水平的伽羅瓦理論課程中。PHiZZ單元巴基球的活動對于“文科數(shù)學(xué)”的學(xué)生而言是一個很好的拓展項目，并為學(xué)習(xí)圖論的學(xué)生提供了手把手的教學(xué)方式，可以來探索三邊著色立方平面圖和四色定理之間的聯(lián)系，更不要說還有機會在更高水平的幾何課上對曲面進行分類。 

      總之，這本書及其應(yīng)用的一大關(guān)鍵詞就是靈活性。每一章都附有講義，可以復(fù)印給學(xué)生們使用，還包括為老師提供的關(guān)于解決方案的注釋、如何使用講義、對教學(xué)法的建議，以及可以進一步采取的方向。