第1篇運動學 

      【引言】 

       運動學是研究物體機械運動的幾何規(guī)律的科學。 

       在靜力學中，我們所研究的對象都由于受到平衡力系的作用而處于靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，即所謂的平衡狀態(tài)。但當力系的平衡條件不能滿足時，物體將改變其原有的靜止或勻速直線運動狀態(tài)。運動學只是從幾何學方面來研究物體的運動規(guī)律，即研究物體在空間的位置隨時間變化的幾何性質(zhì)，例如點的軌跡、速度、加速度等，而不考慮力和質(zhì)量等與運動有關的物理因素。 

       運動學一方面是學習動力學的基礎，另一方面在工程技術中也有許多直接的應用。例如在機械設計和結構分析中，運動學的知識是必不可少的。另外，在儀表設計中，由于零件受力較小，其運動分析成為設計的主要依據(jù)。 

      在運動學中，將引入兩個描述時間的概念：瞬時t和時間間隔Δt。瞬時t是指某一時刻或某一剎那，一般用離開初始時刻的秒數(shù)來表示，例如第五秒末，而運動的初始時刻稱為初瞬時;時間間隔Δt是指從某一瞬時開始到另一瞬時為止所經(jīng)過的秒數(shù)，例如從瞬時t1到瞬時t2的時間間隔是Δt=t2-t1。 

 

       我們在描述某一物體的運動時，總是選定合適的物體作參考體。固連在參考體上的參考坐標系，稱為參考系。在日常生活和工程實際中，我們總是選取地球作為參考體，取固連在地球上的坐標系作為定參考系。值得注意的是，站在不同的參考系上觀察同一物體的運動，往往會得到不同的結果。例如下雨時，站在地面上觀察到的雨點的運動情況，與坐在行駛的汽車中觀察到的雨點的運動情況是不同的。因此，對任何物體運動的描述都是相對于某一參考系而言的。 

       在運動學中，可將物體抽象成點和剛體兩個模型。所謂點，是指一個沒有質(zhì)量和大小的純幾何點。當物體的幾何尺寸和形狀在運動過程中不起主要作用時，物體的運動便可簡化為點的運動，否則便視為剛體的運動。應當指出的是，一個物體應當抽象成點還是抽象成剛體并不取決于物體幾何尺寸的大小，而是決定于所討論問題的性質(zhì)。例如地球雖龐大，但當研究其在繞太陽公轉的軌道上的運行規(guī)律時，可將其視為一個點;而精密儀表上的小齒輪的體積雖小，但當研究它的轉動時，就必須將其當作剛體。并且，同一個物體在不同的問題中，有時視為剛體，有時則視為點，一切均由所研究的問題的性質(zhì)來決定。 

       由于剛體是由無數(shù)個點組成的，因此點的運動學既有其獨立的應用，又是剛體運動學的基礎。我們將首先研究點的運動學，然后研究剛體的運動規(guī)律。 

第1章點的運動學 

第 

1 

章 

點的運動學 

點的運動學是研究點在空間中的位置隨時間變化的規(guī)律，并進一步研究能夠代表點在每個瞬時的運動情況的特征量——軌跡、速度、加速度。 

點在空間內(nèi)所走過的路線，稱為點的軌跡。點的軌跡為直線的點的運動，稱為點的直線運動;點的軌跡為曲線的點的運動，稱為點的曲線運動。 

1.1點的運動方程、速度和加速度 

1��1��1點的運動方程 

當動點M作直線運動時，其軌跡為一條直線，取此直線為Ox軸，利用點的x坐標來確定點在空間中的位置。在圖1��1 中，取直線上的任一點O作為坐標原點，且規(guī)定沿直線的某一方向為x軸的正向。當點運動時，點的位置即坐標x隨時間t變化。故可將坐標x表示為時間的單值連續(xù)函數(shù)，即 

x=f(t)(1��1) 

若函數(shù)x=f(t)為已知，則動點在每一瞬時的空間位置便可唯一確定。式(1��1)稱為點的運動方程。 

一般，動點作曲線運動時，同樣可用函數(shù)描述其運動。根據(jù)所選參考系的不同，點的曲線運動可以有多種表達方式�，F(xiàn)介紹幾種常見的形式。 

1. 矢量法 

由某一固定原點O畫出動點M的矢徑r=OM，如圖1��2所示。點M在任一瞬時的位置均可由矢徑r唯一確定。當動點M運動時，矢徑r的大小和方向隨時間t發(fā)生變化，即r是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即 

r��=r��(t) 

(1��2) 

式(1��2)即為用矢量表示的點的運動方程。矢徑r隨動點M在空間劃過的矢端曲線就是點M的運動軌跡。 

圖1��1 

圖1��2 

2. 直角坐標法 

在圖1��2中，以O點作為原點建立直角坐標系Oxyz，則任一瞬時點M的位置可用它的直角坐標x、y、z表示。當動點M在空間運動時，其位置坐標隨時間t變化，即x、y、z均可寫成時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即 

x=f1(t) 

y=f2(t) 

z=f3(t) 

(1��3) 

式(1��3)稱為用直角坐標表示的動點M的運動方程。當事先不知道點在空間的運動軌跡時，采用直角坐標法描述其運動情況通常是較方便的。 

實際上，式(1��3)是以時間t為參數(shù)的空間曲線方程，從方程中消去參數(shù)t后，便可得到動點M的軌跡方程。 

利用點的直角坐標可將點的矢徑表示成 

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k 

其中，i、j、k分別為沿三個坐標軸方向的單位矢量。 

3. 柱坐標法 

由高等數(shù)學知識可知，動點在空間的位置可由點的柱坐標唯一確定。如圖1��3所示，參數(shù)φ、r、z為動點M的柱坐標。當點M在空間運動時，其柱坐標隨點的位置的不同而變化，即柱坐標為時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即 

φ=f1(t) 

r=f2(t) 

z=f3(t) 

(1��4) 

式(1��4)即為用柱坐標表示的動點M的運動方程。 

當點M作平面曲線運動時，其位置用坐標φ和r便可唯一確定。因此，可用極坐標系代替柱坐標系來描述動點M的運動，如圖1��4所示。此時，動點M的運動方程可簡化為 

φ=f1(t) 

r=f2 (t) 

(1��5) 

從上式中消去參數(shù)t，即可得到用極坐標表示的動點M的軌跡方程。 

圖1��3 

圖1��4 

除此之外，有時為了方便起見，也可采用空間球坐標系來描述動點的運動情況。 

圖1��5 

4. 自然法 

當動點的運動軌跡已知時，可參照點作直線運動時的表示方法，以軌跡曲線本身作為參考系來決定點的位置，如圖1��5 所示。在軌跡曲線上任選一點O作為原點，并規(guī)定點O的某一側為正向，動點M的位置由s=OM弧長來確定。s為一代數(shù)量，稱為動點M的弧坐標。當點M運動時，弧坐標s隨時間變化，它是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，可寫成 

s=f(t) 

(1��6) 

式(1��6)稱為用弧坐標表示的點的運動方程。若s=f(t)已知，則動點在軌跡上的位置可唯一確定。這種用動點在其自身軌跡上的弧坐標來表示點的位置的方法，稱為自然法。 

圖1��6 

【例1��1 

】圖1��6 所示為一曲柄連桿機構。曲柄OA以等角速度ω繞定軸O轉動，設φ=ω t，連桿AB在A端用鉸鏈與曲柄OA相連，而在B端通過鉸鏈帶動滑塊沿水平槽運動。已知OA=AB=l，求A、B點和連桿中點C的運動方程。 

【解】在支座O處建立直角坐標系Oxy。對于所要討論的各點，可根據(jù)其運動軌跡的不同，采用適當?shù)姆椒ń�立各點的運動方程。 

(1) A點。 

由于已知A點的運動軌跡為圓，則采用自然法確定A點的運動方程較為方便。為此，在圓周上選取與x軸相交的O1點作為原點，φ角從Ox軸量起，并以φ增加的方向作為弧坐標的正向。于是A點的運動方程為 

s=OA·φ=lφ=lωt 

(2) B點。 

由于B點沿Ox軸作直線運動，因此可用B點的x坐標來描述它的位置。于是B點的運動方程為 

xB=OAcosφ+ABcosφ=2lcosφ=2lcosωt 

(3) C點。 

C點在Oxy坐標平面內(nèi)作曲線運動，但其運動軌跡不清楚。因此，采用直角坐標法來表示C點的運動方程，即 

xC=OAcosφ+ACcosφ 

=lcosφ+l2cosφ 

=3l2cosφ=3l2cosωt 

yC=l2sinφ=l2sinωt 

消去xC、yC的表達式中的t，則可得到C點的軌跡方程為 

xC32l2+yC12l2=1 

上式為一橢圓方程，其長軸為2×32l=3l，其短軸為2×12l=l。可見，C點的運動軌跡為一橢圓。 

也可用直角坐標法統(tǒng)一建立A、B、C三點的運動方程，請讀者自行練習。 

1��1��2點的速度 

設有一點作曲線運動，從瞬時t到瞬時t+Δt，點由位置M移動到M′，其矢徑分別為r和 

r′，如圖1��7 所示。在時間間隔Δt內(nèi)，矢徑的改變量為 

Δr=r′-r=MM′ 

Δr稱為M點在Δt時間間隔內(nèi)的位移;ΔrΔt表示點在時間間隔Δt內(nèi)運動的平均快慢程度，稱為點的平均速度，用v�潮硎荆�即v��=ΔrΔt，其方向與割線MM′的方向一致。 

當Δt→0時，ΔrΔt的極限稱為動點在瞬時t的速度v，即 

v=limΔt→0v��=limΔt→0ΔrΔt=drdt=r·(1��7) 

圖1��7 

即動點的速度等于動點的矢徑對時間的一階導數(shù)。注意：函數(shù)對時間的導數(shù)用在函數(shù)上方加“·”表示。 

速度v描述點在t瞬時運動的快慢與方向，它是一個矢量，其方向沿動點運動軌跡上的M點的切線方向，并指向點的運動方向，如圖1��7 所示，其大小為 

v=drdt 

速度的大小又稱為速率。 

速度的單位通常為米每秒(m/s)或千米每小時(km/h)。 

1��1��3點的加速度 

點的加速度是為了描述點的速度大小和方向的變化情況而引入的又一物理量。設一動點作空間曲線運動，其運動軌跡如圖1��8所示。設從瞬時t到瞬時t+Δt，點由M移動到M′，其速度由v變?yōu)関′，則在Δt時間內(nèi)，速度的變化量為Δv=v′-v。將矢量v′平移至M點，并令v=MA,v′=MB,Δv=AB,則速度的改變量Δv與時間間隔Δt的比值，描述在Δt時間間隔內(nèi)速度v的平均變化情況，稱為動點在Δt時間內(nèi)的平均加速度，記為a*，則有 

圖1��8 

a��=ΔvΔt 

當Δt→0時，平均加速度趨于一極限值，記為a。a描述點的速度在瞬時t的變化情況，稱為點的瞬時加速度，簡稱點的加速度，即 

a=limΔt→0ΔvΔt=dvdt=v· 

(1��8) 

或 

a=dvdt= 

d2rdt2=r·· 

(1��9) 

即動點的加速度等于其速度對時間的一階導數(shù)，或其矢徑對時間的二階導數(shù)。 

圖1��9 

動點的加速度a是一個矢量，它的模等于dvdt，它的方向由下述方法確定：在空間任選一點O，將M點在各不同瞬時的速度矢量v1，v2，v3，…,vn都平行移動到O點，如圖1��9所示，并連接各速度矢量的端點，得到一條曲線，由此而得到的圖稱為動點M的速度矢端圖。由高等數(shù)學可知，動點在t時刻的加速度方向沿速度矢端圖相對應的點的切線方向。加速度的常用單位為米每二次方秒（m/s2）或毫米每二次方秒（mm/s2）。