第3章空 間 力 系    第  3  章  空 間 力 系       當(dāng)物體所受的力，其作用線不在同一平面，而呈空間分布時，稱為空間力系。在工程實際中，有許多問題都屬于這種情況。如圖3��1所示的車床主軸，分別受到切削力Fx、Fy、Fz和齒輪上的圓周力Fτ、徑向力Fn以及軸承A、B處的約束反力等力的作用，這些力構(gòu)成一組空間力系。    圖3��1     與平面力系一樣，空間力系可分為空間匯交力系、空間平行力系及空間任意力系的情況。   本章主要討論空間力系的簡化和平衡問題。    3��1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影    在平面力系中，常將作用于物體上某點的力向坐標(biāo)軸x、y上投影。同理，在空間力系中，也可以將作用于空間某一點的力向坐標(biāo)軸x、y、z上投影，其具體方法如下。   一、 直接投影法   若力F的作用線與x、y、z軸對應(yīng)的夾角已經(jīng)給定，如圖3��2(a)所示，則可直接將力F向三個坐標(biāo)軸投影，得：    圖3��2      Fx=Fcosα  Fy=Fcosβ  Fz=Fcosγ（3��1）   其中，α、β、γ分別為力F與x、y、z三坐標(biāo)軸間的夾角。    二、 二次投影法   當(dāng)力F與坐標(biāo)軸x、y間的夾角不易確定時，可先將力F投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，進(jìn)一步再將Fxy向x、y軸上投影。如圖3��2(b)所示。若γ為力F與z軸間的夾角，φ為Fxy與x軸間的夾角，則力F在三個坐標(biāo)軸上的投影為:    Fx=Fsinγcosφ  Fy=Fsinγsinφ  Fz=Fcosγ（3��2）   具體計算時，可根據(jù)問題的實際情況選擇一種適當(dāng)?shù)耐队胺椒āＡεc它在坐標(biāo)軸上的投影是一一對應(yīng)的，如果力F的大小、方向是已知的，則它在選定的坐標(biāo)系的三個軸上的投影是確定的；反過來，如果已知力F在三個坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz的值，則力F的大小與方向也就被唯一地確定了，它的大小為:   F=F2x+F2y+F2z（3��3a）   其方向余弦為:    cosα=FxF2x+F2y+F2z  cosβ=FyF2x+F2y+F2z  cosγ=FzF2x+F2y+F2z（3��3b）    3��2力對軸的矩和力對點的矩    一、 力對軸的矩   力使物體繞某一定軸轉(zhuǎn)動，其效應(yīng)通常以此力對該軸的矩來度量，稱為力對軸的矩。    圖3��3    實踐證明，力使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，不僅與力的大小和方向有關(guān)，而且與力的作用面的方位有關(guān)。以圖3��3所示的推門的情形為例，若推力的作用線與門的轉(zhuǎn)動軸平行(如F1)，或者與門的轉(zhuǎn)動軸相交(F2)，則無論推力多大，都不能使門繞轉(zhuǎn)動軸z轉(zhuǎn)動。事實上，只要力作用在門所在的平面內(nèi)，門就不會轉(zhuǎn)動。由此得出結(jié)論：與轉(zhuǎn)軸平行或者與其相交的力都不能使物體繞該軸轉(zhuǎn)動�；蛘哒f，當(dāng)力的作用線與旋轉(zhuǎn)軸共面時，則不可能使物體繞該軸轉(zhuǎn)動。   但是，如果力F垂直于門且不通過轉(zhuǎn)動軸時，就能使門轉(zhuǎn)動。而且這個力越大，或者其作用線與轉(zhuǎn)動軸的距離越遠(yuǎn)，這個轉(zhuǎn)動效應(yīng)就越顯著。因此，可以用力F的大小與上述距離的乘積來度量力F對剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，再用不同的正負(fù)號來區(qū)別不同的轉(zhuǎn)動方向，此即力對軸的矩的概念。    圖3��4    在一般情況下，對于作用線不與z軸共面的力F，可以按下述方法來計算它對z軸的矩。如圖3��4所示，將力F分解為兩個分力F′和F″，力F′平行于z軸，力F′位于通過力F的作用點A且與z軸垂直的平面E內(nèi)。由于分力F″與z軸平行，故對z軸無轉(zhuǎn)動效應(yīng)。于是力F對z軸的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，完全由分力F′決定。因此，力對軸的矩為力在垂直于該軸的平面上的分力對于該軸與平面交點之矩。力F對z軸的矩，定義如下：   Mz（F）=MO（F′）=±F′d（3��4）   式中:O點為平面E與z軸的交點；d為O點到力F′作用線的距離。   式(3��4)中正負(fù)號規(guī)定如下：從z軸的正向看去，力使剛體逆時針方向轉(zhuǎn)動時力矩為正，反之為負(fù)�；蛘哂糜沂致菪�法則來判定：若以右手四個手指彎曲的指向表示力F′繞z軸的轉(zhuǎn)動方向，則拇指的指向與z軸的正向相同者為正，反之為負(fù)。力對軸的矩是一個代數(shù)量，其單位是牛頓·米 （N·m）。   從力對軸的矩的定義可知以得出以下結(jié)論。   （1） 當(dāng)力與軸平行時（F′=0）或力作用線與軸相交時 （d=0），力對軸的矩均為零。   （2） 當(dāng)力沿其作用線移動時，力對軸的矩不變。這是因為此時F′及d均未改變。   合力矩定理空間力系的合力對某一軸的矩，等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。   設(shè)有空間一般力系（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n），其合力為FR，則合力矩定理為：   Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）  =∑MZ（F）（3��5）   定理證明略。   在許多實際問題中，直接根據(jù)力對軸之矩的定義，由力在垂直于軸的平面上的投影計算力對軸的矩，往往很不方便。因此常利用力在直角坐標(biāo)軸上的投影及其作用點的坐標(biāo)來計算力對某一軸的矩。    圖3��5    設(shè)有一力F，其作用點A的坐標(biāo)為（x、y、z），如圖3��5所示。為求力F對z軸的矩，可將力F向（x、y、z）三個坐標(biāo)軸上投影，分別記為Fx、Fy、Fz，而F′為力F在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)的分力。根據(jù)力對軸的矩的定義，F(xiàn)對于z軸的矩等于F′對于O點的矩，即Mz（F）=MO （F′）,而根據(jù)平面力系的知識及合力矩定理，有MO（F′）=xFy-yFx，于是有：    Mz（F′）=xFy-yFx   同理，可計算力F對x軸及對y軸的矩。因此，力F對x、y、z軸的矩分別為:    MxF=yFz-zFy  MyF=zFx-xFz  MzF=xFy-yFx（3��6）   式（3��6）即為力對軸的矩的解析表達(dá)式。應(yīng)注意式中力F的投影Fx、Fy、Fx和力F的作用點的坐標(biāo)x、y、z都是代數(shù)量。    圖3��6          【例3��1】托架固連在軸上，載荷F=500 N，方向如圖3��6(a)所示，求力F對直角坐標(biāo)系各軸的矩(圖3��6中長度單位為cm)。    

         【解】（1） 求方向余弦，由圖3��6(b)可得：   cosα=112+32+52=15.92   cosβ=35.92,cosγ=55.92   （2） 計算力F在各坐標(biāo)軸上的投影如下。   Fx=Fcosα=500×15.92 N=84.5 N   Fy=Fcosβ=500×35.92 N=253 N   Fz=Fcosγ=500×55.92 N=422 N   （3） 計算力F對各坐標(biāo)軸的矩。力F作用點A的坐標(biāo)為：   x=-15 cm,y=-12 cm,z=0   因此，利用式（3��6）求得力F對各坐標(biāo)軸的矩為:   MxF=yFz-zFy   =0.12×422-0×253N·m   =50.6 N·m   MyF  =zFx-xFz=0×84.5+0.15×422 N·m   =63.3 N·m   Mz （F′）=x Fy-yFx=［（-0.15）×253-0.12×84.5］ N·m   =-48.1 N·m