本書主要介紹了勾股定理的 365 種證明方法, 并按證法的類型進(jìn)行歸納、整理和總結(jié), 讓
讀者有一個(gè)全面而系統(tǒng)的了解.
書中大多數(shù)證法用到的知識不超過初中幾何的教學(xué)范圍, 許多證法思路巧妙, 別具一格,
對提高讀者的幾何素養(yǎng)大有裨益. 本書可以作為廣大中學(xué)師生和數(shù)學(xué)愛好者的參考讀物.
勾股定理是初等幾何中遇到的*個(gè)比較重要的定理，該定理是許多后續(xù)定理的基礎(chǔ)。1977年的高考試題中，有一道題目的內(nèi)容就是證明勾股定理，出題人是我國著名數(shù)學(xué)家潘承洞。而勾股定理的證明方法也是多種多樣，各有特色，國外已經(jīng)有學(xué)者整理出了該定理的300多個(gè)證法，而國內(nèi)目前列出了近50個(gè)證法。本書精選了有代表性的365種證法。這些證法大多只需初中水平，各種思維模式能讓讀者腦洞大開，挑戰(zhàn)思維極限。
勾股定理是初等幾何的著名定理之一 .它的內(nèi)容為直角三角形兩直角邊上正方形面積之和等于斜邊上正方形的面積 .即如果直角三角形兩直角邊長度分別為 a和 b,斜邊長度為 c,那么 a2 b2 = c2.這個(gè)定理的內(nèi)容簡潔優(yōu)美 ,證明方法也是五花八門 ,各式各樣 .從古到今 ,無數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者都研究過這個(gè)定理的證明 ,得到了很多有趣的證法 .于是就有了一個(gè)問題 :勾股定理到底有多少種不同的證明方法 ?這個(gè)問題的答案在作者看來是無窮多種 ,比如從本書中介紹的十字分塊法就可以得到任意數(shù)目的分塊方案 ,每個(gè)分塊方案都可以產(chǎn)生一個(gè)證法 .所以這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化成 :勾股定理到底有多少種不同的有代表性的證明方法 ?下面是筆者在撰寫本書前查找到的一些資料,它們的回答如下:1.美國數(shù)學(xué)月刊雜志于 18961899年連載了一篇名為 New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem的論文 ,作者為 B. F. Yanney和 J. A. Calderhead,里面介紹了 104種勾股定理的不同證法.
2. E. S. Loomis撰寫的 Pythagorean Proposition一書中共提到 367種證明方法 .不過據(jù)筆者仔細(xì)閱讀和研究 ,該書的一些證法其本質(zhì)上是相同的 ,個(gè)別證法甚至存在錯(cuò)誤 ,有些證法僅是證明了等腰直角三角形的情形 ,因此不算完整的證明.即便如此,該書中有效的證明方法也接近 300個(gè).
3.由王岳庭、程其堅(jiān)編著 ,內(nèi)蒙古人民出版社于 1985年出版的《定理的多種證明公式的多種推導(dǎo)》一書中介紹了勾股定理的 48種證法.
4.進(jìn)入21世紀(jì)以后 ,國外的數(shù)學(xué)愛好者建立了一個(gè)和勾股定理證法相關(guān)的網(wǎng)站 (參見文獻(xiàn) [3]).到本書定稿時(shí),該網(wǎng)站已收錄了 118種不同的證法.
本書在前人工作的基礎(chǔ)上 ,對已有的勾股定理的證法進(jìn)行整理和改編 ,去粗取精 ,并加入了 56種作者自己發(fā)現(xiàn)的證法 .最終本書給出了 365種不同證法.
考慮到不同層次讀者的知識水平 ,本書的內(nèi)容編排盡量遵循從易到難、從特殊到一般的原則 .以分塊法開頭 ,目的是從一些簡單易懂的例子出發(fā) ,讓小學(xué)生都能動(dòng)手進(jìn)行圖形的裁剪和拼接 ,加深對這個(gè)定理的直觀印象 ,由此再演變出割補(bǔ)法和面積法 .對初中生而言 ,面積法和相似法都是可以接受的內(nèi)容 ,所以一個(gè)初中學(xué)生經(jīng)過努力和思考，應(yīng)該可以看懂書中 2/3的內(nèi)容 .最后以泛化法結(jié)尾 ,把勾股定理的結(jié)論一般化 ,符合一般讀者的認(rèn)知規(guī)律 .讀者在閱讀和思考的過程中可以不斷地提升自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng) ,體會數(shù)學(xué)的抽象之美 .總之一句話 ,不論您是幾何初學(xué)者還是數(shù)學(xué)大家,在這 365種證法中,總有一款適合您!需要指出的是 ,雖然本書的內(nèi)容為勾股定理的各種證明，但本書的主要目的是挑戰(zhàn)思維極限，這個(gè)極限并不是說去刻意追求證法的數(shù)量 ,而是要挑戰(zhàn)讀者的思考極限 ,能夠?qū)⑵矫鎺缀沃械某Ｒ娮C明思路結(jié)合起來 ,學(xué)以致用 ,理解不同定理間的橫向聯(lián)系 ,達(dá)到融會貫通的目的 .如果讀者在讀完本書之后 ,開拓了自己的視野 ,體會到了思考的樂趣 ,甚至能在本書的啟發(fā)之下得到新的證法 ,這將對讀者和作者都是一件很有成就感的事 .這才是挑戰(zhàn)自己思維極限的真正體現(xiàn).本書定稿之前 ,由山西臨縣一中李有貴老師和哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2014級黃小娟同學(xué)進(jìn)行了仔細(xì)閱讀和校對 ,修正了很多細(xì)節(jié)性錯(cuò)誤 ,使本書得到了進(jìn)一步完善 ,在這里向他們表示感謝 .由于筆者水平和精力有限 ,書中的疏漏、錯(cuò)誤之處難免 ,敬請廣大中學(xué)師生和數(shù)學(xué)愛好者提出寶貴意見.另外由于篇幅所限 ,有些證法只提供了證明的思路 ,省略了部分輔助線的作法及詳細(xì)證明過程 ,給廣大讀者留下了無限的思考空間 .歡迎感興趣的讀者就閱讀過程中的疑惑、想法、建議及書中的一些不完善之處與作者聯(lián)系探討 .作者的郵箱為: lmxin@tom.com,或加入 QQ群:284462481.李邁新2016年 9月
1999年本科畢業(yè)于大連理工大學(xué)土木工程系,2001年至2002年在大連理工大學(xué)軟件學(xué)院攻讀計(jì)算機(jī)軟件雙學(xué)位。2003年至2007年從事軟件開發(fā)工作,2007年以后從事軟件和數(shù)學(xué)方面的教育和培訓(xùn)工作。
第1 章分塊法......................................................................................
1
1.1 分塊對應(yīng)法.............................................................................
2
1.2 鑲嵌法....................................................................................
8
1.3 十字分塊法............................................................................12
第2 章割補(bǔ)法.....................................................................................17
第3 章搭橋法.....................................................................................23
第4 章化積為方法.........................................................................38
第5 章等積變換法..............................................................................45
第6 章拼擺法.....................................................................................57
第7 章增積法.....................................................................................78
第8 章消去法.....................................................................................95
8.1 倍積法...................................................................................95
8.2 面積比例法..........................................................................102
第9 章同積法...................................................................................111
第10 章射影法.................................................................................131
10.1 作斜邊垂線的證法..............................................................131
10.2 作直角邊垂線的證法...........................................................139
第11 章長度法.................................................................................142
第12 章方程法.................................................................................152
第13 章平方差法..............................................................................157
第14 章輔助圓法..............................................................................163
第15 章相似轉(zhuǎn)化法..........................................................................172
第16 章間接證法..............................................................................177
16.1 反證法...............................................................................177
16.2 同一法...............................................................................178
第17 章解析法.................................................................................183
17.1 坐標(biāo)法...............................................................................183
17.2 參數(shù)法...............................................................................191
17.3 三角函數(shù)法........................................................................193
第18 章特例法.................................................................................198
第19 章泛化法.................................................................................208
附錄A 證法出處匯總.........................................................................232
附錄B 勾股定理的365 種證明有用嗎？..............................................243
參考文獻(xiàn)..............................................................................................246
后記.....................................................................................................
247
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