數(shù)學(xué)踏上新的征程

人們常說，剛剛過去的一個(gè)世紀(jì)是數(shù)學(xué)真正的黃金時(shí)代。數(shù)學(xué)在 20 世紀(jì)的進(jìn)步比先前所有的世紀(jì)加起來還要大。然而，剛剛開始的這個(gè)世紀(jì)也可能同樣是數(shù)學(xué)發(fā)展的好時(shí)候�；蛟S，數(shù)學(xué)在這個(gè)世紀(jì)的變遷會(huì)和 20 世紀(jì)一樣巨大，甚至更為驚人。引發(fā)這種想法的信號(hào)之一是一場(chǎng)漸變：自 20 世紀(jì) 70 年代開始，數(shù)學(xué)方法的基石證明的概念逐漸發(fā)生演變，讓一個(gè)古老卻有些被人忽視的數(shù)學(xué)概念重新回到了舞臺(tái)中央，這就是計(jì)算。

計(jì)算能成為引發(fā)革命的導(dǎo)火索，這看起來有點(diǎn)不合常理。算法，比如做加法和做乘法的算法，常常被視為數(shù)學(xué)知識(shí)中最基礎(chǔ)的一部分，做計(jì)算也經(jīng)常被看成是缺乏創(chuàng)造性的枯燥工作。數(shù)學(xué)家們自己對(duì)計(jì)算也頗有成見，勒內(nèi)·托姆就曾說過：我的論述中很大一部分屬于純粹的猜想，大家基本上可以把它們看成是夢(mèng)話。我接受這種定性……如今，世界上到處有這么多學(xué)者在做計(jì)算，難道有人做夢(mèng)不是件好事嗎？用計(jì)算來做夢(mèng)，大概還真有點(diǎn)難度啊……

不幸的是，對(duì)計(jì)算的偏見恰恰根植于數(shù)學(xué)證明這一概念的定義里。確實(shí)，歐幾里得以降，證明的定義就是利用公理和演繹規(guī)則構(gòu)建的一套推理 。然而，要解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，僅僅需要構(gòu)建一套推理嗎？數(shù)學(xué)的實(shí)踐難道沒有告訴我們，解決問題需要把推理的步驟和計(jì)算的步驟巧妙地融合起來嗎？公理化方法若局限在推理中，它所展現(xiàn)的數(shù)學(xué)視野恐怕也會(huì)十分狹隘。正是因?yàn)槿藗儗?duì)約束過多的公理化方法多有批評(píng)，才讓計(jì)算有機(jī)會(huì)重新出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的舞臺(tái)上�，F(xiàn)在，已有一些研究工作（它們之間未必有關(guān)聯(lián)）漸漸開始質(zhì)疑推理高于計(jì)算的優(yōu)勢(shì)地位，并倡導(dǎo)一種更為平衡的觀點(diǎn)，讓兩者互為補(bǔ)充。

這場(chǎng)革命讓我們重新考量推理和計(jì)算之間的關(guān)系，同時(shí)也促使我們重新審視數(shù)學(xué)與物理學(xué)、生物學(xué)等自然科學(xué)之間的對(duì)話，特別是數(shù)學(xué)為何能在這些學(xué)科中發(fā)揮難以理解的強(qiáng)大作用這一古老問題，以及自然理論的邏輯形式這一全新問題。此外，這場(chǎng)革命給分析判斷和綜合判斷等哲學(xué)概念帶來了新的火花。它還讓我們反思數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)之間的關(guān)系，而且數(shù)學(xué)似乎是唯一一門不需要借助機(jī)器的科學(xué)，它為什么如此獨(dú)特？

最后，最振奮人心的是，這場(chǎng)革命讓我們隱約看到了一些解決數(shù)學(xué)問題的新方式，它擺脫了過去的技術(shù)強(qiáng)加給證明長(zhǎng)度的枷鎖數(shù)學(xué)也許正踏上新的征程，去探索從未涉足的全新領(lǐng)域。

誠(chéng)然，公理化方法的危機(jī)并不是憑空出現(xiàn)的。從 20 世紀(jì)上半葉起就有許多先兆，特別是兩種理論可計(jì)算性理論和構(gòu)造性理論的出現(xiàn)。這兩種理論本身雖然沒有質(zhì)疑公理化方法，卻重新確立了計(jì)算在數(shù)學(xué)大廈中的地位。在討論公理化危機(jī)之前，我們會(huì)簡(jiǎn)要回顧這兩個(gè)概念的歷史。不過，還是讓我們先上溯遠(yuǎn)古，探尋計(jì)算這一概念的起源，看看古希臘人對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)明過程吧。