【學(xué)習(xí)提要】
　　函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象，極限是微積分的理論基礎(chǔ)，函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)可導(dǎo)與可積的重要條件，所以函數(shù)、極限和連續(xù)都是微積分的基礎(chǔ)。本章是學(xué)好微積分的基石，這部分知識(shí)在考研真題中通常會(huì)出現(xiàn)兩道小題或一道大題，且由于后面各章節(jié)中多數(shù)考點(diǎn)會(huì)涉及函數(shù)、連續(xù)的概念，并且在綜合題中常用到極限和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，因此考生在復(fù)習(xí)時(shí)要靈活掌握，在了解理論的基礎(chǔ)上融會(huì)貫通。
　　【考試要求】
　　1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。
　　2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。
　　3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
　　4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。
　　5.了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念。
　　6.了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
　　7.理解無(wú)窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無(wú)窮小量的比較方法。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。
　　8.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。
　　9.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、大值和小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
　　一、函數(shù)
　�。ㄒ唬┖瘮�(shù)的概念及表示法
　　1.函數(shù)的概念
　　設(shè)數(shù)集D�糝，則稱映射f：D→R為定義在D上的函數(shù)，記為y=f(x)，x∈D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域。
　　2.函數(shù)的表示法
　　函數(shù)的表示法有：解析法，列表法，圖像法。
　　（二）函數(shù)的性質(zhì)
　　1.單調(diào)性
　　設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,(a,b)�糄,則
　�。�1）若對(duì)任意的x1,x2∈(a,b),當(dāng)x1f(x2))，則稱f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）;
　　（2）若對(duì)任意的x1,x2∈(a,b)，當(dāng)x1　　判定方法：①f(x1)與f(x2)作差后與0比較（或f(x1)與f(x2)作商后與1比較）；②使用結(jié)論:可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)不減（不增）的充要條件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)。
　　2.有界性
　　(1)若存在常數(shù)M，使f(x)≤M,x∈D，則稱f(x)有上界；
　　(2)若存在常數(shù)m,使f(x)≥m,x∈D,則稱f(x)有下界；
　　(3)若f(x)既有上界又有下界，則稱f(x)有界。
　　結(jié)論：①f(x)有界的充要條件為存在常數(shù)M＞0，使f(x)≤M;②閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界（有界性定理）；③函數(shù)有極限（收斂）�菥植坑薪�；④有界是可積的必要條件（可積一定有界，反之不然）。
　　注：可積一定有界只是針對(duì)定積分而言的。
　　3.奇偶性
　　若f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；若f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)。
　　注：f(x)-f(-x)為奇函數(shù);f(x)+f(-x)為偶函數(shù)。
　　結(jié)論：①若f(x)為可積的奇函數(shù)，則∫a-af(x)dx=0；②若f(x)為可積的偶函數(shù)，則∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx；③若f(x)為一般可積函數(shù)，則∫a-af(x)dx=∫a0［f(x)+f(-x)］dx；④可導(dǎo)的奇（偶）函數(shù)每求一次導(dǎo)，其奇偶性發(fā)生一次改變（如F（x）是連續(xù)的奇函數(shù)，則F′（x）為偶函數(shù)）。
　　注：當(dāng)遇到積分的上下限互為相反數(shù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮利用被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算。
　　4.周期性
　　若存在T≠0，使f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是以T為周期的周期函數(shù)。
　　結(jié)論：若T為f(x)的周期，那么kT也是f(x)的周期,k=1,2,3,…。
　　注：周期函數(shù)未必有小正周期。
　　結(jié)論：①可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是周期函數(shù)，且周期不變；②若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx。
　�。ㄈ�）常見(jiàn)函數(shù)類型
　　1.基本初等函數(shù)
　　冪函數(shù)：y=xμ(μ∈R是常數(shù));
　　指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0且a≠1);
　　對(duì)數(shù)函數(shù):y=logax(a>0且a≠1，特別當(dāng)a=e時(shí)，記為y=lnx);
　　三角函數(shù)：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等;
　　反三角函數(shù)：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。
　　2.初等函數(shù)
　　由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)，例如y=sinx+ex。
　　3.反函數(shù)
　　設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D，值域是W。如果對(duì)于W內(nèi)的每一個(gè)y，由y=f（x）可以確定唯一的x∈D,這樣在W上定義了一個(gè)函數(shù)，稱為y=f(x)的反函數(shù)，記為x=f-1(y),y∈W。
　　習(xí)慣上自變量用x表示，因變量用y表示。一般的，y=f(x),x∈D的反函數(shù)記成y=f－1(x),x∈W。在同一坐標(biāo)系中，y=f(x)和它的反函數(shù)y=f－1(x)具有相同的單調(diào)性，且它們的圖形關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的。
　　4.隱函數(shù)
　　如果變量x,y滿足方程F(x,y)=0，在給定條件下，當(dāng)x取某區(qū)間的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，則說(shuō)明方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。
　　5.復(fù)合函數(shù)
　　設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域是Df,函數(shù)u=φ(x)的定義域是Dφ,且Rφ�糄f，則稱函數(shù)y=f［φ(x)］為復(fù)合函數(shù)，它的定義域是{xx∈Dφ},u稱為中間變量，x稱為自變量。
　　6.分段函數(shù)
　　用解析法表示的函數(shù)，若在其定義域D的各個(gè)不相交的子集上，分別用不同的式子表示，則該函數(shù)稱為分段函數(shù)。
　　常見(jiàn)的分段函數(shù):
　�。�1）絕對(duì)值函數(shù)y=x=x,x≥0,
　　-x,x<0。
　�。�2）大值函數(shù)max{f1(x),f2(x)}=f1(x),{xf1(x)≥f2(x)},
　　f2(x),{xf1(x)　　小值函數(shù)min{f1(x),f2(x)}=f2(x),{xf1(x)≥f2(x)},
　　f1(x),{xf1(x)　�。�3）取整函數(shù)［x］或intx，表示不超過(guò)x的大整數(shù)。
　　（4）符號(hào)函數(shù)y=sgnx=1,x>0,
　　0,x=0,
　　-1,x<0。
　　（5）狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)y=D(x)=1,x是有理數(shù),
　　0，x是無(wú)理數(shù)。
　　二、極限
　�。ㄒ唬�極限的概念
　　1.數(shù)列極限
　　設(shè){xn}為一數(shù)列，limn→∞xn=A，A為常數(shù)�趯�(duì)任意的ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有xn-A<ε。則稱常數(shù)A是數(shù)列{xn}的極限。
　　2.函數(shù)極限
　　設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R，存在常數(shù)A，limx→∞f(x)=A�趯�(duì)任意的ε>0,存在X>0,當(dāng)x>X時(shí)，有f(x)-A<ε。
　　3.函數(shù)左、右極限
　　若存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)0　　若存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε>0,總存在δ>0,使得當(dāng)0　　結(jié)論：函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等，即
　　f(x-0)=f(x+0)=A,
　　因此，即使f(x-0)和f(x+0)都存在，但若不相等，則limx→x0f(x)也不存在。
　�。ǘ�）極限的相關(guān)性質(zhì)
　　1.數(shù)列收斂的性質(zhì)
　�。�1）唯一性
　　如果數(shù)列{xn}收斂，那么它的極限唯一。
　　（2）收斂數(shù)列的有界性
　　如果數(shù)列｛xn｝收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。
　�。�3）收斂數(shù)列的保號(hào)性
　　如果limn→∞xn=a,且a>0(或a<0)，那么存在正整數(shù)N>0,當(dāng)n>N時(shí)，都有xn>0(或xn<0)。
　　2.函數(shù)收斂的性質(zhì)
　　(1)唯一性
　　設(shè)limx→x0f(x)=A,limx→x0f(x)=B,則A=B。
　　(2)局部有界性
　　設(shè)limx→x0f(x)=A,則存在δ>0和M>0，使當(dāng)0　　(3)局部保號(hào)性
　　設(shè)limx→x0f(x)=A,且A>0(或<0),則存在δ>0,使當(dāng)00(或<0),反之，若f(x)>0（或<0）,且limx→x0f(x)=A存在，則A≥0(或≤0)。
　　推論若limx→x0f(x)=A(A≠0)，那么存在x0的某一去心鄰域Uο(x0),當(dāng)x∈Uο(x0)時(shí)，有
　　f(x)>A2。
　�。ㄈ�）極限存在準(zhǔn)則
　　1.夾逼準(zhǔn)則
　　對(duì)于自變量x的同一變化過(guò)程，若limg(x)=limh(x)=A，且g(x)≤f(x)≤h(x)，則limf(x)=A。
　　2.單調(diào)有界原理
　　設(shè)數(shù)列{un}單調(diào)增加（減少）且有上（下）界M(m)，則極限limn→∞un存在，且limn→∞un≤M(≥m)。
　　（四）極限的四則運(yùn)算法則
　　設(shè)有函數(shù)f(x),g(x),如果在自變量的同一變化過(guò)程中，有l(wèi)imf(x)=a,limg(x)=b,則
　　(1)lim［f(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)=a±b;
　　(2)lim［f(x)·g(x)］=limf(x)·limg(x)=ab;
　　(3)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ab(b≠0);
　　(4)lim［cf(x)］=climf(x)=ca,其中c為常數(shù);
　　（5）若limf(x)存在，則lim［f(x)］n=［limf(x)］n，n是任意正整數(shù)。
　�。ㄎ澹﹥蓚�(gè)重要極限
　　1.limx→0sinxx=1；
　　2.limx→0(1+x)1x=e或limx→∞1+1xx=e。
　　（六）無(wú)窮小、無(wú)窮大
　　1.定義
　　無(wú)窮小量:若limx→x0f(x)=0(或limx→∞f(x)=0),則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。
　　無(wú)窮大量:若limx→x0f(x)=∞(或limx→∞f(x)=∞),則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。
　　2.無(wú)窮小量的性質(zhì)
　　(1)在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，則1f(x)為無(wú)窮��；反之，如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)≠0，則1f(x)為無(wú)窮大。
　　(2)有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小。
　　(3)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。
　　(4)常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。
　　(5)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。
　　3.無(wú)窮小量α(x),β(x)的階
　　設(shè)α(x)與β(x)都是在同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且β(x)≠0。
　　(1)若limα(x)β(x)=0,則α(x)是比β(x)高階的無(wú)窮小，記為α(x)=ο［β(x)］;
　　(2)若limα(x)β(x)=∞,則α(x)是比β(x)低階的無(wú)窮小;
　　(3)若limα(x)β(x)=C≠0,則α(x)與β(x)是同階無(wú)窮小;
　　(4)若limα(x)β(x)=1,則α(x)與β(x)是等價(jià)無(wú)窮小，記為α(x)~β(x);
　　(5)若limα(x)βk(x)=C≠0(k>0),則α(x)是β(x)的k階無(wú)窮小。
　　4.幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小量
　　x→0時(shí)，
　　x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~ex-1~ax-1lna~(1+x)a-1a，
　　1-cosx~12x2,x-sinx~16x3。