第1章 函數(shù) 極限 連續(xù)……………………………………………………………………… 1
1.1 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)……………………………………………………………… 1
1.1.1 函數(shù)的概念………………………………………………………………………… 1
1.1.2 函數(shù)的簡單性態(tài)…………………………………………………………………… 3
1.1.3 基本初等函數(shù)……………………………………………………………………… 3
1.1.4 復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)………………………………………………………………… 5
習(xí)題1.1………………………………………………………………………………………… 6
1.2 函數(shù)的極限……………………………………………………………………………… 7
1.2.1 極限的概念………………………………………………………………………… 7
1.2.2 極限的四則運(yùn)算…………………………………………………………………… 12
1.2.3 無窮小與無窮大…………………………………………………………………… 13
1.2.4 兩個(gè)重要極限……………………………………………………………………… 16
習(xí)題1.2 ……………………………………………………………………………………… 18
1.3 初等函數(shù)的連續(xù)性……………………………………………………………………… 19
1.3.1 函數(shù)連續(xù)性的定義………………………………………………………………… 19
1.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性………………………………………………………………… 21
1.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)………………………………………………………… 22
習(xí)題1.3 ……………………………………………………………………………………… 23
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 23
復(fù)習(xí)題1 ……………………………………………………………………………………… 25
第2章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用…………………………………………………………… 27
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念……………………………………………………………………………… 27
2.1.1 導(dǎo)數(shù)的定義………………………………………………………………………… 27
2.1.2 左、右導(dǎo)數(shù)………………………………………………………………………… 31
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義…………………………………………………………………… 32
2.1.4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系………………………………………………………………… 33
習(xí)題2.1 ……………………………………………………………………………………… 33
2.2 求導(dǎo)法則………………………………………………………………………………… 34
2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則………………………………………………… 34
2.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則……………………………………………………………… 35
2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則………………………………………………………………… 38
2.2.4 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式………………………………………………………… 40??????
2.2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………… 40
2.2.6 對數(shù)求導(dǎo)法………………………………………………………………………… 41
2.2.7 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法………………………………………………… 41
2.2.8 高階導(dǎo)數(shù)…………………………………………………………………………… 42
習(xí)題2.2 ……………………………………………………………………………………… 44
2.3 微 分…………………………………………………………………………………… 45
2.3.1 微分的定義………………………………………………………………………… 45
2.3.2 微分的幾何意義…………………………………………………………………… 46
2.3.3 微分的運(yùn)算法則…………………………………………………………………… 47
2.3.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用………………………………………………………… 48
習(xí)題2.3 ……………………………………………………………………………………… 50
2.4 中值定理與洛必達(dá)法則………………………………………………………………… 50
2.4.1 中值定理…………………………………………………………………………… 50
2.4.2 未定式的定值法———洛必達(dá)法則………………………………………………… 52
習(xí)題2.4 ……………………………………………………………………………………… 56
2.5 函數(shù)的單調(diào)性與極值…………………………………………………………………… 56
2.5.1 函數(shù)的單調(diào)性……………………………………………………………………… 56
2.5.2 函數(shù)的極值………………………………………………………………………… 57
2.5.3 函數(shù)的最值與極值的應(yīng)用………………………………………………………… 60
習(xí)題2.5 ……………………………………………………………………………………… 61
2.6 曲線的凹向與拐點(diǎn)……………………………………………………………………… 62
2.7 函數(shù)圖形的描繪………………………………………………………………………… 63
2.7.1 曲線的漸近線……………………………………………………………………… 63
2.7.2 函數(shù)圖形的做法…………………………………………………………………… 65
習(xí)題2.7 ……………………………………………………………………………………… 67
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 67
復(fù)習(xí)題2 ……………………………………………………………………………………… 68
第3章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用…………………………………………………………… 74
3.1 定積分的基本概念……………………………………………………………………… 74
3.1.1 定積分概念的引入………………………………………………………………… 74
3.1.2 定積分的定義……………………………………………………………………… 76
3.1.3 定積分的幾何意義………………………………………………………………… 76
習(xí)題3.1 ……………………………………………………………………………………… 77
3.2 定積分的性質(zhì)…………………………………………………………………………… 77
3.2.1 有關(guān)積分限的性質(zhì)………………………………………………………………… 77
3.2.2 定積分的線性性質(zhì)………………………………………………………………… 78
3.2.3 定積分的比較……………………………………………………………………… 78
3.2.4 定積分估值定理…………………………………………………………………… 78
3.2.5 定積分中值定理…………………………………………………………………… 78
3.2.6 積分均值…………………………………………………………………………… 79
習(xí)題3.2 ……………………………………………………………………………………… 79
3.3 微積分基本定理與原函數(shù)……………………………………………………………… 79
習(xí)題3.3 ……………………………………………………………………………………… 80
3.4 不定積分的概念與性質(zhì)………………………………………………………………… 81
3.4.1 不定積分的概念…………………………………………………………………… 81
3.4.2 不定積分的性質(zhì)…………………………………………………………………… 81
3.4.3 基本積分公式表…………………………………………………………………… 82
習(xí)題3.4 ……………………………………………………………………………………… 83
3.5 常用積分方法…………………………………………………………………………… 84
3.5.1 換元積分法(Ⅰ)…………………………………………………………………… 84
3.5.2 換元積分法(Ⅱ)…………………………………………………………………… 86
3.5.3 分部積分法………………………………………………………………………… 89
3.5.4 簡單有理函數(shù)的積分……………………………………………………………… 91
習(xí)題3.5 ……………………………………………………………………………………… 93
3.6 廣義積分………………………………………………………………………………… 94
3.6.1 函數(shù)在無限區(qū)間上的積分………………………………………………………… 94
3.6.2 無界函數(shù)的積分…………………………………………………………………… 95
習(xí)題3.6 ……………………………………………………………………………………… 96
3.7 定積分的應(yīng)用…………………………………………………………………………… 96
3.7.1 直角坐標(biāo)系下的面積公式………………………………………………………… 97
3.7.2 極坐標(biāo)系下的面積公式…………………………………………………………… 98
3.7.3 已知平行截面面積的立體體積…………………………………………………… 99
3.7.4 旋轉(zhuǎn)體的體積…………………………………………………………………… 100
3.7.5 平面曲線的弧長………………………………………………………………… 101
習(xí)題3.7……………………………………………………………………………………… 102
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 102
復(fù)習(xí)題3……………………………………………………………………………………… 105
第4章 無窮級數(shù)……………………………………………………………………………… 107
4.1 級數(shù)的基本概念……………………………………………………………………… 107
4.1.1 級數(shù)的概念……………………………………………………………………… 107
4.1.2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)……………………………………………………………… 109
習(xí)題4.1……………………………………………………………………………………… 111
4.2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法………………………………………………………………… 112
4.2.1 正項(xiàng)級數(shù)的審斂法……………………………………………………………… 112
4.2.2 交錯(cuò)級數(shù)的審斂法……………………………………………………………… 114
4.2.3 絕對收斂與條件收斂…………………………………………………………… 115
習(xí)題4.2……………………………………………………………………………………… 116
4.3 冪級數(shù)………………………………………………………………………………… 117
4.3.1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)……………………………………………………………………… 117
4.3.2 冪級數(shù)的定義…………………………………………………………………… 118
4.3.3 冪級數(shù)的收斂性………………………………………………………………… 118
4.3.4 冪級數(shù)的運(yùn)算…………………………………………………………………… 121
習(xí)題4.3……………………………………………………………………………………… 123
4.4 函數(shù)的冪級數(shù)展開式………………………………………………………………… 123
4.4.1 泰勒級數(shù)麥克勞林級數(shù)………………………………………………………… 124
4.4.2 函數(shù)展開為冪級數(shù)的直接方法………………………………………………… 124
4.4.3 函數(shù)展開為冪級數(shù)的間接方法………………………………………………… 126
4.4.4 冪級數(shù)的應(yīng)用…………………………………………………………………… 128
習(xí)題4.4……………………………………………………………………………………… 131
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 131
復(fù)習(xí)題4……………………………………………………………………………………… 132
第5章 常微分方程…………………………………………………………………………… 134
5.1 微分方程的基本概念………………………………………………………………… 134
習(xí)題5.1……………………………………………………………………………………… 137
5.2 可分離變量的微分方程……………………………………………………………… 137
5.2.1 可分離變量的微分方程………………………………………………………… 137
5.2.2 齊次方程………………………………………………………………………… 139
習(xí)題5.2……………………………………………………………………………………… 141
5.3 一階線性微分方程…………………………………………………………………… 141
5.3.1 一階線性齊次微分方程的解法………………………………………………… 142
5.3.2 一階線性非齊次微分方程的解法……………………………………………… 142
習(xí)題5.3……………………………………………………………………………………… 145
5.4 可降階的二階微分方程……………………………………………………………… 145
5.4.1 y″=f(x)型……………………………………………………………………… 146
5.4.2 y″=f(x,y')型…………………………………………………………………… 146
5.4.3 y″=f(y,y')型…………………………………………………………………… 146
習(xí)題5.4……………………………………………………………………………………… 147
5.5 二階線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)…………………………………………………… 148
習(xí)題5.5……………………………………………………………………………………… 150
5.6 二階常系數(shù)線性齊次微分方程……………………………………………………… 150
習(xí)題5.6……………………………………………………………………………………… 153
5.7 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程…………………………………………………… 153
5.7.1 f(x)=pm (x)eλx 型(其中λ 是常數(shù),pm (x)是x 的一個(gè)m 次多項(xiàng)式) ……… 153
5.7.2 f(x)=eαx (acosωx+bsinωx)(其中a,b,ω 均為常數(shù)) ……………………… 156
習(xí)題5.7……………………………………………………………………………………… 157
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 158
復(fù)習(xí)題5……………………………………………………………………………………… 160
第6章 多元函數(shù)微分學(xué)……………………………………………………………………… 162
6.1 空間解析幾何及向量代數(shù)…………………………………………………………… 162
6.1.1 空間解析幾何簡介……………………………………………………………… 162
6.1.2 向量及其線性運(yùn)算……………………………………………………………… 163
6.1.3 向量的坐標(biāo)……………………………………………………………………… 165
6.1.4 向量的數(shù)量積與向量積………………………………………………………… 167
6.1.5 平面及其方程…………………………………………………………………… 171
6.1.6 空間直線及其方程……………………………………………………………… 175
6.1.7 空間曲面與方程………………………………………………………………… 177
6.1.8 平面上的區(qū)域…………………………………………………………………… 182
習(xí)題6.1……………………………………………………………………………………… 183
6.2 多元函數(shù)的基本概念………………………………………………………………… 186
6.2.1 多元函數(shù)的概念………………………………………………………………… 186
6.2.2 二元函數(shù)的極限………………………………………………………………… 187
6.2.3 二元函數(shù)的連續(xù)性……………………………………………………………… 188
習(xí)題6.2……………………………………………………………………………………… 189
6.3 偏導(dǎo)數(shù)………………………………………………………………………………… 190
6.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算………………………………………………………… 190
6.3.2 高階偏導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………… 192
習(xí)題6.3……………………………………………………………………………………… 193
6.4 全微分及其應(yīng)用……………………………………………………………………… 193
6.4.1 全微分的概念…………………………………………………………………… 193
6.4.2 全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系………………………………………………………… 194
習(xí)題6.4……………………………………………………………………………………… 195
6.5 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則…………………………………………………………… 195
6.5.1 復(fù)合函數(shù)微分法………………………………………………………………… 195
6.5.2 隱函數(shù)的微分法………………………………………………………………… 199
習(xí)題6.5……………………………………………………………………………………… 199
6.6 二元函數(shù)的極值與最值……………………………………………………………… 200
6.6.1 二元函數(shù)的極值………………………………………………………………… 200
6.6.2 二元函數(shù)的最值………………………………………………………………… 201
6.6.3 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法…………………………………………………… 202
習(xí)題6.6……………………………………………………………………………………… 205
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 205
復(fù)習(xí)題6……………………………………………………………………………………… 207
第7章 多元函數(shù)積分學(xué)……………………………………………………………………… 210
7.1 二重積分的概念與性質(zhì)……………………………………………………………… 210
7.1.1 二重積分的概念………………………………………………………………… 210
7.1.2 二重積分的定義………………………………………………………………… 211
7.1.3 二重積分的性質(zhì)………………………………………………………………… 212
習(xí)題7.1……………………………………………………………………………………… 213
7.2 二重積分的計(jì)算……………………………………………………………………… 213
7.2.1 在直角坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分………………………………………………… 213
7.2.2 在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分…………………………………………………… 217
習(xí)題7.2……………………………………………………………………………………… 219
7.3 二重積分的應(yīng)用舉例………………………………………………………………… 219
7.3.1 平面圖形的面積………………………………………………………………… 220
7.3.2 立體圖形的體積………………………………………………………………… 220
7.3.3 平面薄片質(zhì)量…………………………………………………………………… 221
習(xí)題7.3……………………………………………………………………………………… 221
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 222