閱讀指南
　　我們力圖確保本書能夠覆蓋大學(xué)高年級、研究生初級的相關(guān)數(shù)學(xué)課程，同時，也包含了大多數(shù)經(jīng)濟學(xué)博士生應(yīng)該掌握的基本內(nèi)容；我們潛在的讀者是經(jīng)濟學(xué)家，由此，我們也試圖確保所應(yīng)用的經(jīng)濟學(xué)例題盡可能地具有前沿性，并強調(diào)其盡可能的類比性。
　　在這種思路下，對于要如何實現(xiàn)本書這種整體性構(gòu)建，我們設(shè)想應(yīng)該這樣達成。首先，我們給出各個章節(jié)內(nèi)容的總體概述與主要理論點，可以確信，本書第一章至第五章的內(nèi)容，能夠構(gòu)成一個經(jīng)濟數(shù)學(xué)高年級課程的基礎(chǔ)。其次，相關(guān)的教學(xué)經(jīng)驗表明，如果再加上6.1和6.5的內(nèi)容，將能夠為研究生的培養(yǎng)提供一個非常豐富、更加完善的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；本書余下的部分，對于數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的高級課程教學(xué)，特別是那些有志于成為計量經(jīng)濟學(xué)家或相關(guān)經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域理論家的學(xué)生，應(yīng)該是一個相當(dāng)不錯的設(shè)計。
　　各章概要
　　第一章：邏輯。主要是討論如何將一般邏輯陳述歸納為一種關(guān)于集合關(guān)系的命題系統(tǒng)，比如，我們要說明為什么“如果有A，則B”的命題就等價于“A是B的一個子集”，或者“存在一個A中的x使得B關(guān)于它的命題為真”的陳述等價于“A與B具有非零的交集”。如果本書像我們所希望的，達到了編寫立意的目標(biāo)，學(xué)生們就能夠?qū)τ诮?jīng)濟學(xué)文獻中的結(jié)論給出一種清晰的解析，以至于洞識潛藏在這些邏輯背后的子集合之間的關(guān)系。
　　第二章：集合論。將解釋如何對于集合進行運算和比較，具體地，我們將從關(guān)系的概念先開始討論，關(guān)系就是一個集合的子集；函數(shù)、對應(yīng)與等價關(guān)系只是特殊關(guān)系的簡單案例。我們還要證明理性選擇理論如何被形式化為偏好關(guān)系上的諸種條件（如完備性、傳遞性等）；關(guān)系，可以用不同的方式對集合進行排序，比如，格就是如此；運用格的概念，我們引入了單調(diào)比較靜態(tài)分析，還有歸功于塔爾斯基的“單調(diào)”不動點定理。隨后，我們將轉(zhuǎn)向集合的大小、以及區(qū)分無限可數(shù)與不可數(shù)集合的研究；基于無限、極限的相關(guān)概念，我們要試圖去掌握相關(guān)的應(yīng)用，而這里的關(guān)鍵性假設(shè)便是著名的選擇性公理；這實質(zhì)上等價于某一類最大（最�。┰�素的存在性問題，一個著名的結(jié)論則是佐恩引理。
　　第三章：實數(shù)空間。一維的實數(shù)線（記為 ）是數(shù)學(xué)中（即使低年級的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生也要理解的）最基本的空間，它是我們用來測度數(shù)量的工具。與沿襲經(jīng)典的公理化構(gòu)建實數(shù)的方法不同，我們強調(diào)由于有理數(shù)具備了所謂的“稠密性”，即使有理數(shù)空間之中就存在著許多“洞”，它也為測度數(shù)量提供了一個絕對優(yōu)良的體系。在有理數(shù)空間中，我們采用通常的方法來測度距離，即歐幾里德定義的，通過差 的絕對值來度量距離；然后，我們將證明：如何通過給有理數(shù)空間增加新的點，來表達一個絕對完美的近似的結(jié)論，即一個被稱為“完備性”的性質(zhì)。要表達一個問題的解概念，完備性是一個絕對關(guān)鍵的性質(zhì)；特別是，我們可以構(gòu)建一個近似解的序列，如果空間是完備的，由于序列變得越來越緊密（比如一個柯西列），該序列的極限是存在的，以致于這個近似序列的極限就是原問題的一個解。對于經(jīng)濟學(xué)而言，實數(shù)完備性的另一個重要的性質(zhì)，便是最大化元素的存在性。
　　第四章：實向量的有限維度量空間。對于年輕的經(jīng)濟學(xué)家來說，這將是我們最先介紹的兩章學(xué)習(xí)內(nèi)容。這里隱含的集合便是在第三章構(gòu)建的維度為l的實數(shù)向量的集合（記為 ）。這里，有許多“常用的方法”測度兩點之間的距離，但其內(nèi)涵的共同特性，即某種“度量”或者說一個距離函數(shù)的概念，將我們帶入了一個新的領(lǐng)域；后者，則是我們在本書其余部分要貫穿研究的主題——如何度量距離。除了類比于l-維歐幾里德距離的概念，基于對應(yīng)元素的差的平方和的平方根，我們給出了距離函數(shù)、或者說度量的另一種關(guān)于距離的對應(yīng)定義：“對應(yīng)元素差的絕對值之和”，這也被稱為 度量；并且，“對應(yīng)元素差的絕對值的最大值”被稱為上確界范數(shù)度量。除了第三章一直強調(diào)的完備性，這一章還要聚焦于緊致性與連續(xù)性；對于經(jīng)濟學(xué)家們常�？紤]的最優(yōu)規(guī)劃問題，無論是靜態(tài)、還是動態(tài)的數(shù)學(xué)模型，這些性質(zhì)都能夠確保解的存在性。實際上，許多關(guān)于解的存在性的結(jié)論，都可以在一種涉及中值定理的簡潔應(yīng)用中得以更簡單的理解。
　　第五章：有限維凸分析。這是我們第二個要介紹的對于年輕的經(jīng)濟學(xué)家來說，必須掌握的兩章學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。許多經(jīng)濟學(xué)問題都被歸納為，求解某個被一系列等式給予很好定義的經(jīng)濟最優(yōu)化問題的解。最優(yōu)化問題也由此往往被寫成如何在一個緊凸集上（比如預(yù)算約束）最大化一個連續(xù)函數(shù)（比如效用函數(shù)）的數(shù)值問題；我們的討論將從最基本的可分離性定理（其對于證明第二福利經(jīng)濟學(xué)定理是充分的）開始，它給出了一種恰當(dāng)?shù)姆椒�，如何用一個處于“對偶空間”（或者共軛空間）的線性函數(shù)來將不相交的凸集彼此分離；我們還要運用分離定理的結(jié)論，去證明最優(yōu)規(guī)劃的庫恩-塔克定理、討論角谷不動點定理，當(dāng)然，這些都是研究經(jīng)濟行為中均衡存在性的主要數(shù)學(xué)工具。
　　第六章：第六章和第七章構(gòu)成了經(jīng)濟學(xué)專業(yè)博士研究生課程的核心內(nèi)容。第六章將介紹一個度量空間一般概念——簡單地講，即一個隱性的集合 與一種距離的概念，這常常被稱為一個度量。在這一章中，我們將要研究集合之間的距離，這是一個在比較靜態(tài)最優(yōu)規(guī)劃最優(yōu)值研究中的關(guān)鍵性要素；我們接著研究累積分布函數(shù)之間的距離，它構(gòu)成了計量經(jīng)濟學(xué)的漸進分析以及不確定性行為選擇理論的基礎(chǔ)；還有連續(xù)函數(shù)之間的距離，運用這種距離的概念，我們才能進行動態(tài)最優(yōu)規(guī)劃問題的值函數(shù)分析�；�于函數(shù)空間分析的一些基礎(chǔ)性近似結(jié)論（即斯通-威爾斯特拉斯定理的代數(shù)或者格的理論表述），我們會給出一個將回歸分析作為近似理論的擴展性的表述；還有回歸分析本身、無限序列之間的距離，這些是經(jīng)濟學(xué)家模擬重復(fù)博弈的博弈序列與策略集合的重要工具；我們還要給出隨機過程與其他動態(tài)系統(tǒng)的收益序列、以及動態(tài)規(guī)劃問題的回報等表達。緊接著，我們轉(zhuǎn)向兩類連續(xù)函數(shù)的擴展定理，這些結(jié)論給出了在什么條件下連續(xù)函數(shù)的一些有價值的性質(zhì)將是成立的，由此，也就邏輯地告訴我們連續(xù)函數(shù)具有十分強大的近似分析的功能。最后，考慮到完備性對于解的存在性的重要意義，我們給出了有理數(shù)完備化、度量完全化定理的一般性描述，這將有助于讀者理解如何對于任意給定的度量空間增加一個最小元素的集合，以使其變成完備的空間。