目錄
第6章 多元函數微分學 1
6.1 多元函數和向量函數的極限與連續(xù) 1
6.1.1 n維向量空間的區(qū)域 1
6.1.2 多元函數和向量函數 4
6.1.3 多元函數和向量函數的極限 7
6.1.4 多元函數和向量函數的連續(xù) 9
6.1.5 線性度量空間的極限與連續(xù) 10
習題6.1 12
6.2 偏導數 14
6.2.1 偏導數的概念 14
6.2.2 高階偏導數 15
6.2.3 偏導數的幾何意義 18
6.2.4 向量函數的偏導數 18
習題6.2 24
6.3 全微分及其應用 25
6.3.1 全微分的概念 25
6.3.2 函數可微的充分條件和必要條件 26
6.3.3 全微分在近似計算中的應用 30
習題6.3 30
6.4 復合函數的求導 31
6.4.1 復合函數的一階偏導數的計算 31
6.4.2 復合函數的二階偏導數的計算 38
6.4.3 全微分形式的不變性 40
習題6.4 41
6.5 隱函數求導 43
6.5.1 由一個方程確定的隱函數的求導 43
6.5.2 由方程組確定的隱函數組的求導 47
習題6.5 49
6.6 多元函數微分學的幾何應用 50
6.6.1 空間曲線的切線方程和法平面方程 50
6.6.2 空間曲面的切平面與法線 52
習題6.6 57
6.7 方向導數與數量場的梯度 58
6.7.1 場的概念 58
6.7.2 方向導數和梯度 64
6.7.3 梯度的物理意義和幾何意義 65
6.7.4 梯度的運算性質 66
習題6.7 69
6.8 多元函數的Taylor公式與極值 70
6.8.1 多元函數的Taylor公式 70
6.8.2 多元函數的極值 73
6.8.3 函數的最大值與最小值 76
6.8.4 條件極值與Lagrange乘數法 78
6.8.5 最小二乘法 82
習題6.8 85
第6章 綜合練習題 86
第7章 解析函數與共形映射 89
7.1 復數與復變函數 89
7.1.1 復數 89
7.1.2 復平面區(qū)域 92
7.1.3 復球面擴充復平面 94
7.1.4 復變函數 95
7.1.5 復變函數的極限與連續(xù) 97
習題7.1 100
7.2 解析函數 101
7.2.1 復變函數的導數和微分Cauchy-Riemann方程 101
7.2.2 解析函數 105
習題7.2 107
7.3 初等解析函數 108
7.3.1 指數函數 108
7.3.2 三角函數和雙曲函數 109
7.3.3 對數函數 111
7.3.4 乘冪ab和冪函數 113
7.3.5 反三角函數和反雙曲函數 114
習題7.3 115
7.4 共形映射 116
7.4.1 解析函數導數的幾何意義 116
7.4.2 共形映射的概念及若干基本定理 119
習題7.4 122
7.5 分式線性映射 123
7.5.1 分式線性映射 123
7.5.2 分式線性映射的性質 125
習題7.5 134
7.6 若干初等函數的共形映射 134
7.6.1 冪函數的映射 134
7.6.2 指數函數和對數函數的映射 141
7.6.3 茹科夫斯基函數 146
習題7.6 148
第7章 綜合練習題 150
第8章 第一型積分 152
8.1 第一型積分的概念和性質 152
8.1.1 質量分布模型和第一型積分 152
8.1.2 第一型積分的性質 154
8.1.3 向量函數的第一型積分 156
習題8.1 156
8.2 重積分在直角坐標系下的表示和計算 157
8.2.1 二重積分在直角坐標系下的表示和計算 157
8.2.2 三重積分在直角坐標系下的表示和計算 164
習題8.2 170
8.3 利用極坐標、柱坐標和球坐標計算重積分 171
8.3.1 重積分的換元積分法 171
8.3.2 利用極坐標計算二重積分 175
8.3.3 利用柱坐標計算三重積分 179
8.3.4 利用球坐標計算三重積分 180
習題8.3 183
8.4 第一型曲線積分和曲面積分 185
8.4.1 第一型曲線積分 185
8.4.2 第一型曲面積分 189
習題8.4 196
8.5 第一型積分的應用 197
8.5.1 第一型積分的幾何應用 197
8.5.2 質量、矩、重心和轉動慣量 201
8.5.3 引力 205
習題8.5 207
第8章 綜合練習題 208
第9章 第二型曲線積分與復變函數積分 211
9.1 第二型曲線積分 211
9.1.1 第二型曲線積分的概念 211
9.1.2 第二型曲線積分的性質 213
9.1.3 第二型曲線積分的計算 214
9.1.4 第二型曲線積分與第一型曲線積分的關系 217
習題9.1 218
9.2 Green公式 220
9.2.1 Green公式 220
9.2.2 平面曲線積分與路徑無關的條件 226
9.2.3 全微分方程 231
習題9.2 231
9.3 復變函數的積分Cauchy積分定理 233
9.3.1 復變函數積分的概念 233
9.3.2 復變函數積分的性質 235
9.3.3 Cauchy積分定理 235
9.3.4 原函數與不定積分 238
習題9.3 241
9.4 Cauchy積分公式 242
9.4.1 Cauchy積分公式 242
9.4.2 Cauchy型積分與解析函數的無限次可微性 244
9.4.3 解析函數與調和函數的關系 247
習題9.4 251
第9章 綜合練習題 252
第10章 第二型曲面積分與場論 255
10.1 第二型曲面積分 255
10.1.1 第二型曲面積分的概念與性質通量 255
10.1.2 第二型曲面積分的計算 259
習題10.1 265
10.2 Gauss公式與散度 266
10.2.1 Gauss公式 266
10.2.2 散度 271
10.2.3 外微分形式簡介 274
習題10.2 280
10.3 Stokes公式與旋度 281
10.3.1 Stokes公式 281
10.3.2 旋度 285
10.3.3 旋度的運算性質 287
10.3.4 Hamilton算子 289
習題10.3 293
10.4 特殊場 294
10.4.1 空間曲線積分與路徑無關的等價條件 294
10.4.2 幾種重要的特殊場 296
10.4.3 平面向量場與復勢 301
習題10.4 305
10.5 場在正交曲線坐標系下的表示 306
10.5.1 正交曲線坐標Lame系數 306
10.5.2 基變換與坐標變換 309
10.5.3 算子與場在正交曲線坐標系下的表示 312
習題10.5 318
第10章 綜合練習題 320
部分習題參考答案 322
參考文獻 338
附錄 區(qū)域的共形映射表 339
索引 343