本書是為工程碩士數(shù)值分析課程編寫的教材，比較系統(tǒng)地介紹了數(shù)值分析學(xué)科的基本方法和理論，選材著重基礎(chǔ)，也強(qiáng)調(diào)方法在計算機(jī)上如何實(shí)現(xiàn)，并討論了一些實(shí)際問題中與數(shù)值計算有關(guān)的數(shù)學(xué)模型.
本書第1章是數(shù)學(xué)模型和數(shù)值計算一般問題的引論，其他各章內(nèi)容包括求解線性代數(shù)方程組的直接方法和迭代方法、求解非線性方程和方程組的數(shù)值方法、矩陣特征值問題的計算方法、函數(shù)的插值和逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分以及常微分方程初值問題的數(shù)值方法.各章都配有相關(guān)數(shù)學(xué)模型的例題，章末有習(xí)題和計算實(shí)習(xí)題.書末還附有計算實(shí)習(xí)所用工具M(jìn)ATLAB的簡明介紹.
本書可作為工程碩士研究生教材，也可作為其他理工科各專業(yè)本科生或研究生教材，并可供工程技術(shù)人員和科研人員參考.
半個多世紀(jì)以來，計算機(jī)技術(shù)和計算數(shù)學(xué)學(xué)科都有了飛速的發(fā)展.現(xiàn)在，科學(xué)計算已經(jīng)成為各門自然科學(xué)、工程技術(shù)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)科學(xué)等學(xué)科不可缺少的一種手段.在科學(xué)研究、工程技術(shù)設(shè)計和制造等方面都離不開科學(xué)計算.而數(shù)值分析是科學(xué)計算的核心，它已成為國內(nèi)外大學(xué)普遍開設(shè)的一門數(shù)學(xué)課程.
數(shù)值分析課程的內(nèi)容一般包含科學(xué)計算中一些最基礎(chǔ)的數(shù)值方法及其分析，這些方法可以直接用于科學(xué)和工程計算，也是其他一些更復(fù)雜數(shù)值計算方法的基礎(chǔ).數(shù)值分析學(xué)科既是一門基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)學(xué)科，也是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.本書是為工程碩士研究生數(shù)值分析課程編寫的教材，取名為《數(shù)值方法》.它比較系統(tǒng)地介紹了這門學(xué)科的一些基本方法和理論，同時也針對讀者對象的一些情況（例如部分讀者離開大學(xué)課堂已有一段時間，或是在職學(xué)習(xí)等）作了適當(dāng)?shù)陌才?選材更基礎(chǔ)一些，更著重對方法的分析并引入了各種類型的例子，強(qiáng)調(diào)方法在計算機(jī)上如何實(shí)現(xiàn).同時，也聯(lián)系一些工程學(xué)科和其他學(xué)科中的實(shí)際問題，討論這些問題與數(shù)值計算有關(guān)的數(shù)學(xué)模型.這在本書第1章作了一些介紹，在以后各章也有與該章內(nèi)容有關(guān)的例子.
本書的主要內(nèi)容包括線性代數(shù)的數(shù)值計算（方程組的直接方法、迭代方法以及特征值問題的計算）、非線性方程的數(shù)值解法、函數(shù)的插值和逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分以及常微分方程初值問題的數(shù)值解法.第１章是有關(guān)的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值計算一般問題的引論，也把線性代數(shù)的一些知識集中在這一章作了介紹，為后面的內(nèi)容作準(zhǔn)備.在各章的結(jié)尾，有關(guān)于本章內(nèi)容的習(xí)題和計算實(shí)習(xí)題.計算實(shí)習(xí)題所用的工具ＭＡＴＬＡＢ，目前很多科技、工程人員和學(xué)生已經(jīng)熟悉并在工作中使用，我們也在本書的附錄中給出一個最簡單的介紹.
教學(xué)中使用本書可以有不同的處理.第１章一些準(zhǔn)備知識和以下各章的講授次序是可以調(diào)整的.一般60學(xué)時左右的課程可以講授除第5章（特征值問題）外各章的大部分內(nèi)容.學(xué)時較少的課程還可以再酌減內(nèi)容，本書目錄中帶*號的章節(jié)可以作為刪節(jié)的首選.本書是為工程碩士研究生的課程編寫的，也可以作為其他理工科各專業(yè)的本科生和研究生課程的教材.我們更希望本書也能對學(xué)習(xí)這方面知識的工程技術(shù)人員和科研人員有所幫助.
本書第1章的1.1節(jié)、1.2節(jié)和第6章至第9章由陸金甫編寫，其余部分由關(guān)治編寫.
本書的編寫得到全國工程碩士專業(yè)學(xué)位教育指導(dǎo)委員會和清華大學(xué)研究生院以及清華大學(xué)出版社的支持和幫助，他們指導(dǎo)性的意見對本書的編寫起到了重要作用，對此我們深表感謝.在本書申請編寫過程中，參加評審的同行專家提出了十分中肯的意見供我們參考，對他們的支持我們也非常感謝.我們在與清華大學(xué)講授過同類課程的同事們之間的交流中獲益匪淺，也謝謝他們對本書的關(guān)心.我們還特別感謝負(fù)責(zé)編輯的清華大學(xué)出版社劉穎博士，他為本書提出了寶貴的具體意見，本書的順利出版與他認(rèn)真、細(xì)致的工作是分不開的.最后，我們期望國內(nèi)的教師同行、學(xué)生和廣大讀者對本書提出寶貴的意見，您們的意見對本書的進(jìn)一步改進(jìn)一定會有很大的幫助.
第1章數(shù)學(xué)模型和數(shù)值方法引論1
1.1數(shù)學(xué)模型及其建立方法與步驟1
1.1.1數(shù)學(xué)模型1
1.1.2人口增長模型1
1.1.3建立數(shù)學(xué)模型的方法與步驟4
1.2數(shù)學(xué)模型舉例5
1.2.1投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型5
1.2.2兩物種群體競爭系統(tǒng)7
1.2.3礦道中梯子問題8
1.3數(shù)值方法的研究對象10
1.4數(shù)值計算的誤差10
1.4.1誤差的來源與分類10
1.4.2誤差與有效數(shù)字11
1.4.3求函數(shù)值和算術(shù)運(yùn)算的誤差估計13
1.5病態(tài)問題、數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害14
1.5.1病態(tài)問題與條件數(shù)14
1.5.2數(shù)值方法的穩(wěn)定性15
1.5.3避免誤差危害17
1.6線性代數(shù)的一些基礎(chǔ)知識19
1.6.1矩陣的特征值問題、相似變換19
1.6.2線性空間和內(nèi)積空間21
1.6.3范數(shù)、線性賦范空間24
1.6.4向量的范數(shù)和矩陣的范數(shù)26
1.6.5幾種常見矩陣的性質(zhì)30
習(xí)題35
第2章線性代數(shù)方程組的直接解法39
2.1引論39
2.2Gauss消去法40
2.2.1順序消去與回代過程40
2.2.2順序消去能實(shí)現(xiàn)的條件43
2.2.3矩陣的三角分解44
2.2.4列主元素消去法45
2.3直接三角分解方法48
2.3.1Doolittle分解方法48
2.3.2三對角方程組的追趕法50
2.3.3對稱正定矩陣的Cholesky分解、平方根法52
2.4矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組57
2.4.1擾動方程組、病態(tài)現(xiàn)象57
2.4.2矩陣的條件數(shù)與擾動方程組的誤差分析58
2.4.3病態(tài)方程組的解法61
習(xí)題62
計算實(shí)習(xí)題64
第3章線性代數(shù)方程組的迭代解法66
3.1迭代法的基本概念66
3.1.1引言66
3.1.2向量序列和矩陣序列的極限68
3.1.3迭代公式的構(gòu)造71
3.1.4迭代法的收斂性分析73
3.2Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法76
3.2.1Jacobi迭代法76
3.2.2GaussSeidel迭代法76
3.2.3J法和GS法的收斂性77
3.3超松弛迭代法79
3.3.1逐次超松弛迭代公式79
3.3.2SOR迭代法的收斂性80
3.3.3最優(yōu)松弛因子81
3.3.4模型問題幾種迭代法的比較83
*3.4共軛梯度法84
3.4.1與方程組等價的變分問題84
3.4.2最速下降法85
3.4.3共軛梯度法86
習(xí)題89
計算實(shí)習(xí)題91
第4章非線性方程和方程組的數(shù)值解法93
4.1引言93
4.2二分法和試位法96
4.2.1二分法96
4.2.2試位法97
4.3不動點(diǎn)迭代法98
4.3.1不動點(diǎn)和不動點(diǎn)迭代法98
4.3.2不動點(diǎn)迭代法在區(qū)間[a,b\]的收斂性100
4.3.3局部收斂性102
4.4迭代加速收斂的方法104
4.4.1Aitken加速方法104
4.4.2Steffensen迭代方法105
4.5Newton迭代法和割線法106
4.5.1Newton迭代法的計算公式和收斂性106
4.5.2Newton法的進(jìn)一步討論107
*4.5.3割線法110
*4.6非線性方程組的數(shù)值解法111
4.6.1非線性方程組111
4.6.2非線性方程組的不動點(diǎn)迭代法112
4.6.3非線性方程組的Newton迭代法114
習(xí)題115
計算實(shí)習(xí)題116
*第5章矩陣特征值問題的計算方法118
5.1矩陣特征值問題的性質(zhì)118
5.1.1矩陣特征值問題118
5.1.2特征值的估計和擾動120
5.2正交變換和矩陣分解121
5.2.1Householder變換121
5.2.2Givens變換124
5.2.3矩陣的QR分解和Schur分解125
5.2.4正交相似變換化矩陣為Hessenberg形式129
5.3冪迭代法和逆冪迭代法133
5.3.1冪迭代法133
5.3.2加速技巧135
5.3.3逆冪迭代法135
5.4QR方法的基本原理137
5.4.1基本的QR迭代算法137
5.4.2Hessenberg矩陣的QR方法139
5.4.3帶有原點(diǎn)位移的QR方法140
5.5對稱矩陣特征值問題的計算142
5.5.1對稱矩陣特征值問題的性質(zhì)142
5.5.2Rayleigh商的應(yīng)用143
5.5.3Jacobi方法144
習(xí)題148
計算實(shí)習(xí)題150
第6章插值法151
6.1Lagrange插值152
6.1.1Lagrange插值多項式152
6.1.2插值多項式的余項156
6.2均差與Newton插值多項式161
6.2.1均差及其性質(zhì)161
6.2.2Newton插值公式163
*6.2.3差分及其性質(zhì)167
*6.2.4等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式168
6.3Hermite插值170
6.3.1Hermite插值多項式171
6.3.2重節(jié)點(diǎn)均差174
6.3.3Newton形式的Hermite插值多項式175
6.4分段低次插值方法178
6.4.1Runge現(xiàn)象178
6.4.2分段線性插值179
6.4.3分段三次Hermite插值180
6.5三次樣條插值函數(shù)181
6.5.1三次樣條插值函數(shù)182
6.5.2三次樣條插值函數(shù)的計算方法183
6.5.3三次樣條插值函數(shù)的誤差187
習(xí)題188
計算實(shí)習(xí)題189
第7章函數(shù)逼近191
7.1正交多項式192
7.1.1正交多項式的概念及性質(zhì)192
7.1.2Legendre多項式194
7.1.3Chebyshev多項式195
7.1.4Chebyshev多項式零點(diǎn)插值196
7.1.5Laguerre多項式199
7.1.6Hermite多項式199
*7.2最佳平方逼近200
7.2.1最佳平方逼近的概念及計算200
7.2.2用正交函數(shù)組作最佳平方逼近203
7.2.3用Legendre正交多項式作最佳平方逼近205
*7.3有理函數(shù)逼近206
7.3.1有理分式207
7.3.2Padé逼近207
7.3.3連分式211
7.4曲線擬合的最小二乘法212
7.4.1最小二乘法及其計算212
7.4.2線性化方法216
7.4.3用正交多項式作最小二乘曲線擬合219
習(xí)題222
計算實(shí)習(xí)題223
第8章數(shù)值積分與數(shù)值微分225
8.1NewtonCotes求積公式226
8.1.1梯形公式和Simpson公式226
8.1.2插值型求積公式230
8.1.3代數(shù)精度231
8.1.4NewtonCotes求積公式232
8.1.5開型NewtonCotes求積公式234
8.1.6NewtonCotes求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性236
8.2復(fù)合求積公式237
8.2.1復(fù)合梯形求積公式237
8.2.2復(fù)合Simpson求積公式239
8.3Romberg求積公式241
8.3.1外推技巧241
8.3.2Romberg求積公式243
*8.4自適應(yīng)積分法245
8.5Gauss型求積公式247
8.5.1Gauss型求積公式249
8.5.2Gauss型求積公式的穩(wěn)定性與收斂性254
8.5.3GaussLegendre求積公式256
8.5.4GaussChebyshev求積公式259
*8.5.5GaussLaguerre求積公式260
*8.5.6GaussHermite求積公式261
*8.6數(shù)值微分262
8.6.1Taylor展開構(gòu)造數(shù)值微分263
8.6.2插值型求導(dǎo)公式265
8.6.3數(shù)值微分的外推算法268
8.6.4高階數(shù)值微分270
習(xí)題273
計算實(shí)習(xí)題275
第9章常微分方程初值問題的數(shù)值解法276
9.1引言276
9.2簡單數(shù)值方法278
9.2.1顯式Euler方法278
9.2.2隱式Euler方法279
9.2.3梯形方法280
9.2.4預(yù)估校正方法281
9.2.5單步方法的截斷誤差283
9.3RungeKutta方法286
9.3.1用Taylor展開構(gòu)造高階數(shù)值方法286
9.3.2RungeKutta方法288
9.3.3高階方法與隱式RungeKutta方法292
9.4單步法的相容性、收斂性和絕對穩(wěn)定性294
9.4.1相容性294
9.4.2收斂性295
9.4.3絕對穩(wěn)定性296
9.5線性多步法300
9.5.1線性多步法的基本概念300
9.5.2Adams方法302
9.5.3待定系數(shù)方法306
9.5.4預(yù)估校正方法307
*9.6線性多步法的相容性、收斂性和絕對穩(wěn)定性310
9.6.1相容性310
9.6.2收斂性310
9.6.3絕對穩(wěn)定性313
*9.7誤差控制與變步長316
9.7.1單步法316
9.7.2線性多步法318
9.8一階方程組與剛性方程組320
9.8.1一階方程組320
9.8.2高階微分方程初值問題324
9.8.3剛性微分方程組324
習(xí)題326
計算實(shí)習(xí)題327
附錄AMATLAB簡介329
A.1常數(shù)329
A.2矩陣329
A.2.1矩陣的形成329
A.2.2矩陣運(yùn)算331
A.2.3數(shù)組運(yùn)算331
A.3函數(shù)332
A.3.1內(nèi)部函數(shù)332
A.3.2用戶定義的函數(shù)333
A.4繪圖333
A.5編程335
部分習(xí)題的答案或提示337
參考文獻(xiàn)353
書單推薦
