緒論
固體力學(xué)主要研究在各種外界因素作用下可變形體內(nèi)部各點(diǎn)所產(chǎn)生的位移、應(yīng)力、應(yīng)變以及破壞等的規(guī)律；假設(shè)研究對(duì)象中的位移、應(yīng)變、應(yīng)力等為空間或時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，借助于數(shù)學(xué)方法將其研究問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的偏微分方程邊值問(wèn)題或初邊值問(wèn)題。用微分方程來(lái)描述工程技術(shù)問(wèn)題是科學(xué)的一大成果，其求解一直貫穿于固體力學(xué)的發(fā)展階段。
固體力學(xué)遇到的數(shù)理模型是復(fù)雜多樣的，其計(jì)算方法已經(jīng)歷了三個(gè)發(fā)展時(shí)期：解析方法、古典數(shù)值方法和現(xiàn)代數(shù)值方法。
在固體力學(xué)發(fā)展初期，科學(xué)家針對(duì)基本方程和邊界條件的定解問(wèn)題提出了許多解析方法，如應(yīng)力函數(shù)法、試湊法(反逆和半逆法)及復(fù)變函數(shù)法等，這些方法所解決的主要是一些簡(jiǎn)單的彈性力學(xué)問(wèn)題、穩(wěn)定問(wèn)題及后來(lái)出現(xiàn)得極少的塑性力學(xué)問(wèn)題。除了少數(shù)簡(jiǎn)單固體力學(xué)問(wèn)題外，解析方法是不可行的。隨著固體力學(xué)自身的發(fā)展及實(shí)際工程問(wèn)題的出現(xiàn)，許多復(fù)雜的問(wèn)題求解開(kāi)始逐漸引入近似的求解方法。與傳統(tǒng)解析方法對(duì)數(shù)學(xué)的完美要求相比，近似解法更注重在工程問(wèn)題中的實(shí)用性。古典數(shù)值方法在數(shù)學(xué)形式上就是利用近似解代替精確解，近似解不一定嚴(yán)格滿足基本方程或邊界條件，即放松了對(duì)解的限制。歷史上最早采用的數(shù)值方法是有限差分法，從微分方程出發(fā)，將連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來(lái)代替，用泰勒展開(kāi)式將原方程和定解條件中的微商用不同時(shí)間或空間點(diǎn)差商來(lái)近似，把原微分方程和邊界條件的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庖粋�(gè)線性代數(shù)方程組，從而得到原問(wèn)題在離散點(diǎn)上的近似解，再利用插值方法便可以得到整個(gè)區(qū)域上的近似解。另一種近似方法是基于等效積分的數(shù)值方法。例如，瑞士科學(xué)家里茲于1908年將里茲法作為一種有效方法提出，基于變分法(積分方程)中最小勢(shì)能原理或虛位移原理，選擇一個(gè)滿足位移邊界條件的近似函數(shù)，對(duì)泛函求駐值，得到一組線性代數(shù)方程，從而獲得問(wèn)題的近似解。另外，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伽遼金于1915年發(fā)明了伽遼金法，采用微分方程對(duì)應(yīng)的等效積分弱形式，選擇滿足位移邊界條件(與力邊界條件)的近似函數(shù)，并把近似函數(shù)中基函數(shù)或形函數(shù)為權(quán)函數(shù)，得到一組線性代數(shù)方程，可得問(wèn)題的近似解。這種方法屬于加權(quán)余量法。里茲法和伽遼金法均用有限自由度體系近似代替了無(wú)限自由度體系，兩者在某個(gè)特定的條件下是等效的。有限差分法、里茲法、伽遼金法等近似解法的出現(xiàn)表明固體力學(xué)從初期的單純理論研究逐漸轉(zhuǎn)入到實(shí)際工程應(yīng)用之中。但是，還存在不滿意之處：有限差分法局限于規(guī)則的差分網(wǎng)格，如正方形、矩形或正三角形網(wǎng)格等；里茲法和伽遼金法選擇的近似函數(shù)必須滿足整個(gè)求解區(qū)域，當(dāng)研究對(duì)象是一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或具有復(fù)雜幾何形狀，近似函數(shù)不易得到滿足；所以古典數(shù)值方法對(duì)于模擬復(fù)雜邊界的二維或三維問(wèn)題有一定難度。現(xiàn)代數(shù)值方法則拋棄了這種在整個(gè)求解域上選取近似函數(shù)的思想，求解模型中采用了“離散化”的思想，近似函數(shù)僅需在局部滿足微分方程�；�于變分法或加權(quán)余量法，提出了流行的有限單元法、邊界單元法、無(wú)網(wǎng)格法等。20世紀(jì)60年代，計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和應(yīng)用為標(biāo)志著固體力學(xué)計(jì)算的一個(gè)飛躍，使固體力學(xué)的現(xiàn)代數(shù)值方法進(jìn)入了前所未有的深度與廣度。電子計(jì)算機(jī)應(yīng)用的飛速發(fā)展，以及計(jì)算方法的不斷改進(jìn)和完善，促成了計(jì)算固體力學(xué)學(xué)科的誕生。計(jì)算固體力學(xué)是采用離散化的數(shù)值方法，并以電子計(jì)算機(jī)為工具，求解固體力學(xué)中各類問(wèn)題的學(xué)科。借助于計(jì)算機(jī)，有限元法與有限差分法相輔相成，已成為現(xiàn)代工程計(jì)算中不可缺少的強(qiáng)有力工具。但是，有限差分法只看到了節(jié)點(diǎn)的作用，沒(méi)有注意到連接節(jié)點(diǎn)的單元所起到的作用；有限元法吸取了有限差分法中離散化處理的內(nèi)核，又繼承了變分計(jì)算中選擇插值函數(shù)并對(duì)區(qū)域進(jìn)行積分的合理方法，并且充分估計(jì)了單元對(duì)節(jié)點(diǎn)參數(shù)的貢獻(xiàn)，使計(jì)算結(jié)果更為精確。因而，在工程計(jì)算中，以有限元法為核心的現(xiàn)代數(shù)值方法得到了廣泛的應(yīng)用。計(jì)算固體力學(xué)應(yīng)用到的工程問(wèn)題及其求解的特點(diǎn)：(1) 靜力學(xué)問(wèn)題。離散化后歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組，常見(jiàn)于求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形。(2) 特征值問(wèn)題。離散化后歸結(jié)為求解矩陣的特征值和特征向量問(wèn)題，常見(jiàn)于求解結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的頻率和振型、穩(wěn)定極限載荷和屈曲形狀 。(3) 動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。離散化后得到一常微分方程組，可直接數(shù)值積分或利用先求得特征向量將它轉(zhuǎn)換為一組互不耦合的常微分方程，再進(jìn)行時(shí)間積分求解。常見(jiàn)于求解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和彈性波的傳播。(4) 非線性問(wèn)題。例如，黏彈(塑)性等物理非線性問(wèn)題、大變形和后屈曲等幾何非線性問(wèn)題，一般采用增量解法將它們轉(zhuǎn)化為一系列線性問(wèn)題求解。(5) 含裂紋的非連續(xù)問(wèn)題。可采用奇異單元模擬裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)。(6) 復(fù)合材料和結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)問(wèn)題。目前，對(duì)此類問(wèn)題求解還不完善，正在發(fā)展之中。(7) 多場(chǎng)耦合問(wèn)題。對(duì)此類問(wèn)題求解也在發(fā)展之中。計(jì)算固體力學(xué)研究和應(yīng)用的領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，隨計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，解題能力成數(shù)量級(jí)地提高。例如，借助計(jì)算機(jī)，已能對(duì)整個(gè)“鳥(niǎo)巢”、整艘航空母艦，或整架飛機(jī)等工程問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析，并得到滿意結(jié)果。計(jì)算固體力學(xué)的發(fā)展，既有其學(xué)科自身的要求，也有實(shí)際工程問(wèn)題的推動(dòng)。1997年9月，錢學(xué)森先生給予清華大學(xué)力學(xué)系贈(zèng)言：“隨著力學(xué)計(jì)算能力的提高，用力學(xué)理論解決設(shè)計(jì)問(wèn)題成為主要途徑，而試驗(yàn)手段成為次要的了。由此展望21世紀(jì)，力學(xué)加電子計(jì)算機(jī)將成為工程設(shè)計(jì)的主要手段。” 計(jì)算固體力學(xué)的發(fā)展方向是：在數(shù)值方法方面，利用多種數(shù)值方法的優(yōu)點(diǎn)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高大型系統(tǒng)的非線性分析、隨機(jī)分析、耦合分析等算法的精度和效率，改進(jìn)其穩(wěn)定性和收斂性；在應(yīng)用方面，充分利用計(jì)算機(jī)圖像、數(shù)據(jù)庫(kù)、人工智能等技術(shù)，并可與優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠性設(shè)計(jì)等相結(jié)合，發(fā)展多功能、自動(dòng)化的通用或?qū)Ｓ霉こ誊浖�系統(tǒng)，將突破經(jīng)典力學(xué)的框架，繼而滲入到諸如生物力學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域，形成新的交叉學(xué)科。本書(shū)將討論線性、材料非線性、幾何非線性、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題和熱分析問(wèn)題；涉及加權(quán)余量法、有限元法、邊界元法、無(wú)網(wǎng)格法和離散元法等，主要介紹這些方法的基本原理和概念。鑒于研究生曾學(xué)過(guò)“數(shù)值分析”、“線性代數(shù)”與“彈性理論”，為了避免重復(fù)，不再贅述有限差分法、矩陣算法和變分法。著名的有限元法、邊界元法既可以從變分原理推出，也可以用加權(quán)余量法推出。已經(jīng)證明，加權(quán)余量法用于存在泛函極值的微分方程與泛函極值是等價(jià)的，遺憾的是，至今還有一部分微分方程沒(méi)有找到對(duì)應(yīng)的泛函。換句話說(shuō)，直接針對(duì)原始微分方程推導(dǎo)出來(lái)的加權(quán)余量法比變分法更有優(yōu)勢(shì)，這是因?yàn)樗�也適用于不能給出泛函(需對(duì)其求極小值)的那些問(wèn)題。既然加權(quán)余量法包容了變分原理中泛函極值、有限元法、邊界元法等的最普遍原理，它更容易推廣應(yīng)用到不同微分方程的其他問(wèn)題，所以本書(shū)以加權(quán)余量法開(kāi)篇。有限元法是當(dāng)代計(jì)算固體力學(xué)應(yīng)用的核心，著墨最多。邊界元法是對(duì)有限元法的補(bǔ)充，二者取長(zhǎng)補(bǔ)短，其耦合計(jì)算方法將來(lái)也許是個(gè)發(fā)展方向，故將邊界元法作為單獨(dú)章節(jié)進(jìn)行核心技術(shù)的介紹。目前，無(wú)網(wǎng)格法是計(jì)算固體力學(xué)研究領(lǐng)域的前沿?zé)狳c(diǎn)，出生較晚，有待成長(zhǎng)，甚至有些概念的“名字”還在爭(zhēng)議之中。無(wú)網(wǎng)格法有許多優(yōu)點(diǎn)，甚至有專家預(yù)測(cè)無(wú)網(wǎng)格法將成為繼有限元法之后新一代的數(shù)值方法。所以，安排在邊界元法章節(jié)之后，單獨(dú)介紹無(wú)網(wǎng)格法，便于啟迪這方面的研究。不論有限元法、邊界元法，還是無(wú)網(wǎng)格法，均是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ)之上，在非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域的計(jì)算又如何呢？離散元法就是該領(lǐng)域數(shù)值計(jì)算方法的典型代表，主要用來(lái)模擬大量顆粒在給定條件下如何運(yùn)動(dòng)。在計(jì)算機(jī)的輔助下，離散元法甚至可以完成模擬“介于流體和固體之間的顆�；蛘叻勰�”受力與運(yùn)動(dòng)分析。離散元法的應(yīng)用已擴(kuò)展到連續(xù)介質(zhì)及連續(xù)介質(zhì)向非連續(xù)介質(zhì)轉(zhuǎn)化的力學(xué)問(wèn)題。例如，沖擊、侵徹等動(dòng)載荷作用下材料的破壞。為了知識(shí)點(diǎn)的全面性，在計(jì)算固體力學(xué)的篇尾，把離散元法作為其擴(kuò)充部分。思考1? 有限差分法的優(yōu)缺點(diǎn)各是什么？2? 計(jì)算固體力學(xué)的生命力如何？3? 回憶虛位移原理、虛功原理、最小勢(shì)能原理、里茲法。4? 什么是自然變分原理和廣義變分原理？彈性力學(xué)最小勢(shì)能原理和最小余能原理都屬于自然變分原理。在自然變分原理中試探函數(shù)事先應(yīng)滿足規(guī)定的條件。例如，最小勢(shì)能原理中位移試探函數(shù)應(yīng)事先滿足幾何方程和給定的位移邊界條件；最小余能原理中應(yīng)力試探函數(shù)應(yīng)事先滿足平衡方程和給定的外力邊界條件。如果這些條件未事先滿足，則需要利用一定的方法將它們引入泛函。這類變分原理稱為約束變分原理，或廣義變分原理。利用廣義變分原理可以擴(kuò)大選擇試探函數(shù)的范圍，從而提高利用變分原理求解數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的能力。第1章加權(quán)余量法第1章加權(quán)余量法〖1〗1?1微分方程的等效積分應(yīng)用科學(xué)和工程問(wèn)題往往可以歸結(jié)為：在一定邊界條件、初始條件下，求解問(wèn)題的控制微分方程(組)。微分方程(組)可以是常微分方程、偏微分方程，線性的或非線性的。例如，某一應(yīng)用科學(xué)問(wèn)題中的控制微分方程式及邊界條件分別為A(u)-f=0(V域)
B(u)-g=0(Γ邊界)(1?1?1)
式中，u為待求的函數(shù)；A、B為微分算子；f、g為不含u的已知函數(shù)。微分方程組(1?1?1)的等效積分形式∫V?1A(u)-fdV+∫Γ?2B(u)-gdΓ=0(1?1?2)
式中，?1、?2為任意函數(shù)，也稱為權(quán)函數(shù)。由于?1、?2為任意函數(shù)，上式與微分形式(1?1?1)是完全等價(jià)的。假設(shè)微分方程組(1?1?2)中A的微分算子為n階，對(duì)微分方程組的等效積分形式(1?1?2)進(jìn)行m次分部積分，得到微分方程組(1?1?1)等效積分弱形式∫VC(?1)E(u)dV+∫ΓD(?2)F(u)dΓ=0(1?1?3)分部積分后，微分算子E、F為n-m階，微分算子C、D為m階。將微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式，這個(gè)弱并不是弱化對(duì)方程解的結(jié)果，而是弱化對(duì)解方程的要求，具體是弱化待求函數(shù)u的連續(xù)性，當(dāng)然這種弱化是以提高權(quán)函數(shù)的連續(xù)性為代價(jià)的。權(quán)函數(shù)為選擇的已知函數(shù)，能夠滿足分部積分方法對(duì)權(quán)函數(shù)連續(xù)性要求。這種弱化換來(lái)了以下好處：(1) 降低對(duì)未知函數(shù) u的連續(xù)性的要求，從而可以在更廣泛的范圍內(nèi)選擇試探函數(shù)；(2) 對(duì)連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題，便于有限元構(gòu)造單元和插值函數(shù)；(3) 在物理上更符合實(shí)際問(wèn)題對(duì)未知函數(shù) u連續(xù)性的要求。如果在微分方程的等效積分弱形式中，對(duì)場(chǎng)函數(shù)和任意權(quán)函數(shù)的連續(xù)性要求是相同的，則稱為微分方程的對(duì)稱等效積分弱形式；如果對(duì)場(chǎng)函數(shù)和任意權(quán)函數(shù)的連續(xù)性要求是不相同的，則稱為微分方程的非對(duì)稱等效積分弱形式。以二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的微分方程和邊界條件等效的積分弱形式(1?1?4)進(jìn)行說(shuō)明。-∫eΩ??1?xλx?T?x+??1?yλy?T?y-?1QdΩ
+∫Γ1+2+3?1λx?T?xnx+λy?T?ynydΓ
+∫Γ2?2λx?T?xnx+λy?T?yny-qdΓ
+∫Γ3?3λx?T?xnx+λy?T?yny-h(Tf-Ts)dΓ=0(1?1?4)
式中，e表示單元范圍內(nèi)積分；Ω為體積；T為單元邊界；h為換熱系數(shù)；Tf為環(huán)境溫度；Ts為壁面溫度；λx、λy、λz為導(dǎo)熱系數(shù);Q為內(nèi)熱源密度。熱傳導(dǎo)系數(shù)λ以其自身出現(xiàn)，而場(chǎng)函數(shù)溫度T則以一階導(dǎo)數(shù)形式出現(xiàn)，因此它允許在域內(nèi)熱傳導(dǎo)系數(shù)以及溫度的一階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)不連續(xù)，但這在微分方程中是不允許的。同時(shí)，積分弱形式對(duì)函數(shù)溫度T的連續(xù)性要求的降低是以提高權(quán)函數(shù)的連續(xù)性要求為代價(jià)的，由于原來(lái)對(duì)權(quán)函數(shù)?并無(wú)連續(xù)性要求，但是適當(dāng)提高對(duì)其連續(xù)性要求并不困難，因?yàn)樗鼈兪强梢赃x擇的已知函數(shù)。這種降低對(duì)函數(shù)溫度T連續(xù)性要求的做法在近似計(jì)算中，尤其是在有限單元法中是十分重要的。值得指出的是，從形式上看弱形式對(duì)函數(shù)溫度T的連續(xù)性要求降低了，但對(duì)實(shí)際的物理問(wèn)題卻常常較原始的微分方程更逼近真解，因?yàn)樵�始微分方程往往�?duì)解提出了過(guò)分平滑的要求。例題1推導(dǎo)固支梁彎曲問(wèn)題微分方程等效的積分弱形式。解固支梁彎曲問(wèn)題微分方程及邊界條件EJd4wdx4-q=0，x∈(0，l)w=0，dwdx=0，x=0，l如果不考慮邊界條件，引入任意函數(shù)?作為權(quán)函數(shù)，微分方程的等效積分形式如下：∫l0?EJd4wdx4-qdx=0，x∈(0，l)
對(duì)該等效積分形式要求域內(nèi)?為三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，很難實(shí)現(xiàn)。進(jìn)行2次分部積分，得到微分方程的等效積分弱形式：∫l0d2?dx2EJd2wdx2dx-∫l0?qdx+?EJd3wdx3l0-d?dxEJd2wdx2l0=0