為了得到E的所有測(cè)地線，只須使雙曲面日取遍為E所決定的共焦系的所有單葉雙曲面和雙葉雙曲面。這里還應(yīng)該把焦雙曲線看作是雙曲面的極限情形，而且要把跟焦雙曲線相交的所有直線當(dāng)作這個(gè)退化曲面的切線。焦雙曲線與E交于四個(gè)臍點(diǎn)。運(yùn)用極限過(guò)程于上述論證，可知E上屬于焦雙曲線的測(cè)地線族是由通過(guò)E的一個(gè)臍點(diǎn)的所有那些測(cè)地線，而且僅僅是那些測(cè)地線組成的”。其次，可以證明，通過(guò)一個(gè)臍點(diǎn)的每條測(cè)地線必定通過(guò)這點(diǎn)的對(duì)徑點(diǎn)。
　　在球面上，所有通過(guò)已知點(diǎn)P的測(cè)地線也必通過(guò)另一定點(diǎn)，即P的對(duì)徑點(diǎn)。通過(guò)橢球面一臍點(diǎn)的測(cè)地線也有類(lèi)似的性質(zhì)。此外還可證明，通過(guò)橢球面的任何其他定點(diǎn)的測(cè)地線，不全都有第二個(gè)公共點(diǎn)。
　　我們不禁要問(wèn)：球面是不是所有通過(guò)它上面任意一定點(diǎn)的測(cè)地線必通過(guò)第二個(gè)公共點(diǎn)的唯一的曲面呢？這個(gè)問(wèn)題迄今尚未解決。
　　7.一定體積的立體，以球的表面積為最�。灰欢ū砻娣e的立體，以球的體積為最大。
　　這兩個(gè)性質(zhì)（其中每一個(gè)是另一個(gè)的推論），唯一地決定了球。這個(gè)問(wèn)題的證明要引到變分法的一個(gè)問(wèn)題上去，而且證明非常繁瑣。不過(guò)，自由飄浮著的肥皂泡，提供最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)證明。我們以前在談到極小曲面時(shí)講過(guò)，肥皂泡由于表面張力的作用，盡可能將表面積收縮到最小；因?yàn)榉试砼堇锖�有一定量的空氣，由此可知，肥皂泡在一定容積之下，將成為表面積最小的曲面。由觀察知道，自由飄浮的肥皂泡恒呈球形，如果泡上肥皂液所受的輕微的重力影響略而不計(jì)的話。
　　8.在所有一定表面積的凸體中，以球面的總（全）平均曲率為最小。
　　曲面上一點(diǎn)的平均曲率H定義為在這點(diǎn)的二主曲率的算術(shù)平均值：H=1/2（k1+k2）
　　在這個(gè)公式中，橢圓點(diǎn)的二主曲率的符號(hào)須取成相同的；鞍點(diǎn)上的，須取成相反的。跟高斯曲率不同，平均曲率一般地因曲面彎曲而變。這樣說(shuō)來(lái)，平均曲率主要告訴我們同曲面安裝在空間的方式有關(guān)的某些東西。
　　平均曲率概念的重要性在極小曲面中已經(jīng)見(jiàn)過(guò)了。按極小曲面的定義乃是在曲面上任意一點(diǎn)處二主曲率值相等，但符號(hào)相反。換句話說(shuō)，極小曲面的平均曲率，到處為零。
　　為了求得曲面的總平均曲率，可如下進(jìn)行。設(shè)想曲面有一定的質(zhì)量，質(zhì)量分布的狀況是，在每一點(diǎn)的密度等于在該點(diǎn)的平均曲率。