《有限群初步》是在十多年前出版的《有限群導(dǎo)引》的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改、補(bǔ)充、材料更新以及刪減過時(shí)內(nèi)容而形成的新的有限群教材. 《有限群初步》共分8 章. 第1 章敘述群論最基本的概念，其中有些內(nèi)容在群論課程的先修課“抽象代數(shù)”中已經(jīng)學(xué)過，但相當(dāng)部分內(nèi)容是新的. 整個(gè)這一章是學(xué)習(xí)《有限群初步》的基礎(chǔ)，因此必須認(rèn)真閱讀，并且應(yīng)該做其中大部分的習(xí)題. 從第2 章起則是沿著兩條主線進(jìn)行：一條主線是群的作用；另一條主線是關(guān)于群的構(gòu)造問題. 《有限群初步》作者多年從事有限群的教學(xué)和研究工作，這《有限群初步》是他多年教學(xué)工作的總結(jié).
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這是一部至今（并將在今后幾十年中）國內(nèi)最好的有限群研究方向著作。
二十多年來，徐明曜先生的《有限群導(dǎo)引》（上下冊(cè)）一直是國內(nèi)群論研究生和群論研究工作者最好教材和參考書，它為國內(nèi)群論發(fā)展起到了極大的推動(dòng)作用。26年來，有限群論取得了長足的進(jìn)步，致使《有限群導(dǎo)引》一書中很多材料已經(jīng)過時(shí)，而新的進(jìn)展又沒能包括進(jìn)來。徐明曜教授的新作《有限群初步》作為《有限群導(dǎo)引》的姊妹篇，不僅對(duì)舊作《有限群導(dǎo)引》有很好的傳承，而且增加了很多新的群論研究成果�！队邢奕撼醪健烦浞挚紤]使用《有限群初步》的不同群體的需要，內(nèi)容精煉。此書將為今后我國群論發(fā)展起著積極的推動(dòng)作用。
徐明曜，1965年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)。1991年被國家教委和國家學(xué)委授予“做出突出貢獻(xiàn)的中國博士、碩士學(xué)位獲得者”。1988年起擔(dān)任北京大學(xué)數(shù)學(xué)系和數(shù)學(xué)研究所教授，1992年起任博士生導(dǎo)師（國務(wù)院批），2003年起受聘為山西師范大學(xué)特聘教授。曾任中國數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員，美國數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員，美國《數(shù)學(xué)評(píng)論》特約評(píng)論員，國際雜志Algebra Colloquim編委。現(xiàn)任International journal of Mathematical Combinations編委，以及Ars Mathematica Contemporance顧問。
科研方向主要為有限群論，特別是有限p-群、代數(shù)圖論、群與圖的聯(lián)系以及計(jì)算群論。出版教材及專著3部，至今已發(fā)表論文86篇，其中被SCI收錄61篇。
目錄
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
前言
第1章 群論的基本概念 l
1.1 群的定義 l
1.2 子群和陪集 4
1.3 共軛、正規(guī)子群和商群 8
1.4 同態(tài)和同構(gòu) 12
1.5 直積 13
1.6 一些重要的群例 16
1.6.1 循環(huán)群 16
1.6.2 有限交換群 17
1.6.3 變換群、Cayley定理 19
1.6.4 有限置換群 20
1.6.5 線性群 21
1.6.6 二面體群 22
1.7 自同構(gòu) 25
1.7.1 自同構(gòu) 26
1.7.2 全形 29
1.7.3 完全群 29
1.8 特征單群 32
1.9 Sylow定理 35
1.10 換位子、可解群、p-群 38
1.11 自由群、生成元和關(guān)系 44
1.11.1 自由群 44
1.11.2 生成系及定義關(guān)系 45
第2章 群作用、置換表示、轉(zhuǎn)移映射 48
2.1 群在集合上的作用 48
2.2 傳遞置換表示及其應(yīng)用 5l
2.3 轉(zhuǎn)移和Burnside定理 57
2.4 置換群的基奉概念 63
2.4.1 半正則群和正則群 65
2.4.2 非本原群和本原群 66
2.4.3 多重傳遞群 68
2.5 閱讀材料——正多面體及有限旋轉(zhuǎn)群 70
2.5.1 正多面體的旋轉(zhuǎn)變換群 71
2.5.2 三維歐氏空間的有限旋轉(zhuǎn)群 75
第3章 群的構(gòu)造理論初步 80
3.1 Jordan-Holder定理 81
3.2 Krull-Schmidt定理 89
3.3 由“小群”構(gòu)造“大群” 95
3.3.1 群的半直積 96
3.3.2 中心積 97
3.3.3 亞循環(huán)群 98
3.3.4 圈積、對(duì)稱群的Sylow子群 100
3.4 Schur-Zassenhaus定理 104
3.5 群的擴(kuò)張理論 111
3.6 P臨界群 118
3.7 MAGMA和GAP簡介 123
第4章 更多的群例 125
4.1 PSL(n，q)的單性 125
4.2 七點(diǎn)平面和它的群 129
4.3 Petersen圖和它的群 132
4.4 最早發(fā)現(xiàn)的零散單群 136
4.5 域上的典型群簡介 138
4.5.1 辛群 141
4.5.2 酉群 141
4.5.3 正交群 143
4.6 閱讀材料-Burnside問題 144
第5章 冪零群和p-群 148
5.1 換位子 148
5.2 冪零群 152
5.3 Frattini子群 156
5.4 內(nèi)冪零群 158
5.5 p-群的初等結(jié)果 16l
5.6 內(nèi)交換p-群、亞循環(huán)p-群和極大類p-群 168
5.7 p-群計(jì)數(shù)定理 l73
5.8 超特殊p-群 176
5.9 正規(guī)秩為2的p-群 178
5.10 閱讀材料——正則p-群 180
第6章 可解群 192
6.1π-Hall子群 l92
6.2 Sylow系和Sylow補(bǔ)系 195
6.3π-Hall子群的共軛性問題 196
6.4 Fitting子群 198
6.5 Carter子群 203
6.6 群系理論初步 204
6.7 特殊可解群的構(gòu)造 207
6.7.1 超可解群 207
6.7.2 所有Sylow子群皆循環(huán)的有限群 210
6.7.3 Dedekind群 211
6.7.4 可分解群、可置換子群 211
6.8 閱讀材料-Frobenius的一個(gè)定理 213
第7章 有限群表示論初步 216
7.1 群的表示 216
7.2 群代數(shù)和模 223
7.3 不可約模和完全可約模 227
7.4 半單代數(shù)的構(gòu)造 230
7.5 特征標(biāo)、類函數(shù)、正交關(guān)系 235
7.6 誘導(dǎo)特征標(biāo) 246
7.7 有關(guān)代數(shù)整數(shù)的預(yù)備知識(shí) 25l
7.8 paqb_定理、Frobenius定理 255
第8章 群在群上的作用、ZJ-定理和p-冪零群 259
8.1 群在群上的作用 260
8.2 π'-群在交換π-群上的作用 262
8.3 π'-群在π-群上的作用 267
8.4 關(guān)于p-冪零性的Frobenius定理 274
8.5 Glauberman ZJ—定理 277
8.6 Glauberman-Thompsonp-冪零準(zhǔn)則 282
8.7 Frobenius群 283
8.8 閱讀材料-Grimn定理和p-冪零群 288
8.9 閱讀材料——內(nèi)p-冪零群和Frobenius定理的又一證明 293
8.10 閱讀材料-Burnside paqb-定理的群論證明 296
8.11 閱讀材料——廣義Fitting子群 30l
8.12 閱讀材料-Brauer-Fowler定理 304
8.13 閱讀材料——有限單群簡介 307
附錄 有限群常用結(jié)果集萃 313
l 和單群有關(guān)的結(jié)果 313
2 和抽象群有關(guān)的結(jié)果 3l?
3 和有限p-群有關(guān)的結(jié)果 318
4 和置換群有關(guān)的結(jié)果 320
5 進(jìn)一步閱讀的書目 325
習(xí)題提示 330
參考文獻(xiàn) 357
索引 364
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 37l
第1 章群論的基本概念
閱讀提示:本章是群論最基本的知識(shí),學(xué)習(xí)本書者應(yīng)該仔細(xì)研讀,并做大部分習(xí)題.
本章是對(duì)抽象代數(shù)課程中已經(jīng)學(xué)過的群論的基本概念進(jìn)行復(fù)習(xí)和補(bǔ)充.因此,很多結(jié)果不再給出證明.
1.1 群的定義
定義1.1.1稱非空集合G為一個(gè)群,如果在G中定義了一個(gè)二元運(yùn)算,叫做乘法,它滿足
(1)結(jié)合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;
(2)存在單位元素：存在1∈ G, 使得對(duì)任意的a ∈ G, 恒有
1a=a1=a;
(3)存在逆元素：對(duì)任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G, 使得
aa.1 =a.1 a =1.
定義一個(gè)群有多種不同的方式.例如,上述條件(2),(3)可以分別減弱為(a1=(2a.)); 存在左(右)單位元素：存在1∈ G, 使得對(duì)任意的a ∈ G,有1a=a
(3.)存在左(右)逆元素：對(duì)任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G,使得a.1a =1
(aa.1 =1).則條件(1),(2.)和(3.)亦可定義一個(gè)群.又,我們有定義1.1.2稱非空集合G為一個(gè)群,如果在G中定義了一個(gè)二元運(yùn)算,叫
做乘法. 它滿足
(1)結(jié)合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;
(4)對(duì)任意的a,b∈ G,存在x,y∈ G,滿足ax=b和ya=b.更多的定義群的方法可以參看[45].定義1.1.3如果群G滿足
(5)交換律：ab=ba,a,b∈ G,則稱G為交換群或Abel群.
在我們熟悉的基本數(shù)系,即正整數(shù)系N、整數(shù)系Z、有理數(shù)系Q、實(shí)數(shù)系R和
復(fù)數(shù)系C中就可以找到很多群的例子,而且它們都是交換群.例1.1.4Z對(duì)加法成群(Z,+).例1.1.5任一數(shù)域F對(duì)加法成群(F,+).特別地,(Q,+),(R,+),(C,+)
是群.例1.1.6任一數(shù)域F的非零元素集合F# 對(duì)乘法成群(F# ,).特別地,(Q# ,),(R# ,),(C# , ) 是群. ?
???
例1.1.7正有理數(shù)集Q+ 和正實(shí)數(shù)集R+ 對(duì)乘法成群(Q+ ,),(R+ ,).例1.1.8模為1的全體復(fù)數(shù)對(duì)乘法成群C1.??
例1.1.9設(shè)n為正整數(shù),n次單位根的全體對(duì)乘法組成群Un,并且∞Un =
n=1
U 對(duì)乘法也成群. 容易證明, 由數(shù)組成的所有有限乘法群都是U 的子群.
例1.1.10整數(shù)環(huán)Z關(guān)于理想(n)的同余類環(huán)Zn=Z/(n)對(duì)加法成群
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