目錄
前言
第1章 線性空間與線性變換 1
1.1 線性空間的基本概念 1
1.1.1 數(shù)域 1
1.1.2 線性空間的定義與性質(zhì) 2
1.2 基、坐標(biāo)與維數(shù) 4
1.2.1 向量組的線性相關(guān)性 4
1.2.2 線性空間的基與維數(shù) 5
1.2.3 基變換與坐標(biāo)變換 8
1.3 線性子空間 13
1.3.1 子空間的概念 13
1.3.2 子空間的交與和 15
1.3.3 子空間的直和 19
1.4 線性變換 21
1.4.1 線性變換的定義 21
1.4.2 線性變換的性質(zhì) 23
1.4.3 線性變換的運(yùn)算 24
1.5 線性變換的矩陣 24
1.5.1 線性變換在給定基下的矩陣 24
1.5.2 線性變換在不同基下的矩陣 29
1.6 線性變換的值域、核及不變子空間
1.6.1 值域與核的定義 29
1.6.2 值域與核的相關(guān)理論 30
1.6.3 不變子空間 34
1.7 線性空間的同構(gòu) 34
1.7.1 同構(gòu)映射的定義 34
1.7.2 同構(gòu)映射的性質(zhì) 35
1.7.3 同構(gòu)的充要條件 36
1.8 線性變換的應(yīng)用 36
1.8.1 在數(shù)字信號(hào)處理中的若干應(yīng)用 36
1.8.2 關(guān)于矩陣的秩的一些結(jié)論 37
習(xí)題一 39
第2章 內(nèi)積空間與等距變換 43
2.1 內(nèi)積空間的基本概念 43
2.1.1 內(nèi)積空間的定義 43
2.1.2 向量的長度與夾角 45
2.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基與Schnudt 正交化 46
2.2.1 標(biāo)準(zhǔn)正交基 46
2.2.2 Sch皿idt 正交化方法 48
2.3 正交子空間 50
2.4 等距變換 52
2.5 應(yīng)用：小波分析中的正交基 55
習(xí)題二 57
第3章 矩陣的Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 60
3.1 特征值與特征向量 60
3.1.1 特征值與特征向量 60
3.1.2 矩陣的跡與行列式 62
3.1.3 特征子壁間 63
3.2 矩陣可對(duì)角化的條件 64
3.2.1 相似矩陣 64
3.2.2 矩陣可對(duì)角化的充要條件 64
3.2.3 正規(guī)矩陣 67
3.3 矩陣的Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用 70
3.3.1 Jordan 矩陣 71
3.3.2 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的存在定理 72
3.3.3 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的求法 73
3.3.4 矩陣Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用 77
3.4 Haermilton-Cayley 定理及矩陣的最小多項(xiàng)式 78
3.4.1 Haermilton-Cayley 定理 78
3.4.2 最小多項(xiàng)式 80
3.5 矩陣特征值的估計(jì)及Hermite 矩陣特征值的性質(zhì) 83
3.5.1 矩陣特征值的圓盤定理 83
3.5.2 Hermite 矩陣特征值的性質(zhì) 87
習(xí)題三 88
第4章 矩陣分解 91
4.1 矩陣的三角分解 91
4.1.1 Gauss 消去法的矩陣表述 91
4.1.2 矩陣的三角分解 94
4.1.3.分塊矩陣的三角分解 96
4.2 矩陣的滿秩分解 97
4.2.1 矩陣的滿秩分解 97
4.2.2 關(guān)于行滿秩或列滿秩矩陣的性質(zhì) 99
4.2.3.長方矩陣的左、右逆 100
4.3 矩陣的QR 分解 101
4.3.1 矩陣的QR 分解 101
4.3.2.用初等旋轉(zhuǎn)矩陣求矩陣的QR 分解 104
4.3.3.用初等反射矩陣求矩陣的QR 分解 107
4.4 矩陣的奇異值分解 109
4.5.可對(duì)角化矩陣的譜分解 114
4.伊奇異值分解在現(xiàn)代譜分析中的應(yīng)用 118
習(xí)題四 121
第5章 矩陣分析 123
5.1 向量范數(shù)及其性質(zhì) 123
5.1.1 向量范數(shù) 123
5.1.2 向量范數(shù)的連續(xù)性與等價(jià)性 126
5.2 矩陣范數(shù) 128
5.2.1 矩陣范數(shù)的定義與性質(zhì) 128
5.2.2 兒種常用的矩陣范數(shù) 131
5.2.3 范數(shù)的應(yīng)用 135
5.3 矩陣序列與矩陣級(jí)數(shù) 136
5.3.1 向量序列與矩陣序列 136
5.3.2 矩陣級(jí)數(shù) 140
5.4 矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣 142
5.4.1 矩陣函數(shù)的定義 143
5.4.2 矩陣函數(shù)的計(jì)算 145
5.4.3 函數(shù)矩陣的微分與積分 151
5.5 矩陣函數(shù)的應(yīng)用 157
5.5.1 一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的解 157
5.5.2 一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組的解 159
習(xí)題五 160
第6章 矩陣的廣義逆 163
6.1 廣義逆矩陣的基本概念 163
6.1.1 廣義逆矩陣的定義 163
6.1.2 廣義逆矩陣的分類 164
6.2 {1}逆 165
6.2.1 {1}逆的定義與性質(zhì) 165
6.2.2 {1}逆的計(jì)算 166
6.3 Moore-Penrose 逆A+ 168
6.3.1 A+ 的性質(zhì) 168
6.3.2 A+ 的計(jì)算 169
6.4 A+ 在解線性方程組中的應(yīng)用 171
6.4.1 線性方程組的求解問題 171
6.4.2 相容方程組的求解問題 172
6.4.3 矛盾方程組的求解問題 173
習(xí)題六 175
習(xí)題參考答案 177
參考文獻(xiàn) 187