目錄
《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書》序
前言
符號(hào)說(shuō)明
第1章 有限元方法的簡(jiǎn)單回顧 1
1.1 變分問題 1
1.2 Galerkin逼近 5
1.2.1 Galerkin逼近 5
1.2.2 誤差分析 8
思考題 12
第2章 橢圓邊值問題的變分問題 13
2.1 抽象的變分問題 13
2.2 Lax-Milgram定理 19
2.2.1 對(duì)稱情形 19
2.2.2 非對(duì)稱情形 20
2.3 若干例子 23
2.3.1 Green公式 24
2.3.2 若干例子 25
思考題 39
第3章 Sobolev空間概要 41
3.1 Lp(Ω)空間 41
3.2 廣義導(dǎo)數(shù)（微商） 46
3.3 磨光算子、均值逼近與單位分解 48
3.3.1 磨光算子 48
3.3.2 均值逼近定理 51
3.3.3 單位分解 55
3.4 Sobolev空間 58
3.5 Sobolev空間嵌入定理 61
3.6 等價(jià)范數(shù) 63
3.7 商空間 66
思考題 68
第4章 有限元離散化 69
4.1 有限元離散化 69
4.2 二維情形 73
4.2.1 三角形單元 74
4.2.2 矩形單元 84
4.3 有限元方法的計(jì)算流程 87
4.4 預(yù)處理共軛梯度法 93
思考題 97
第5章 協(xié)調(diào)有限元的誤差分析 99
5.1 引言 99
5.2 Sobolev空間中的分片多項(xiàng)式插值 101
5.2.1 仿射等價(jià)元之間范數(shù)的關(guān)系 101
5.2.2 單元插值誤差估計(jì) 105
5.3 多邊形區(qū)域上二階問題的誤差分析 107
5.3.1 先驗(yàn)誤差估計(jì) 107
5.3.2 L2-模與負(fù)模估計(jì) 108
5.3.3 非光滑解的收斂性 111
5.4 逆不等式 112
5.4.1 單元上的逆不等式 112
5.4.2 逆不等式 113
5.4.3 Hs(Ω)模估計(jì) 116
5.4.4 最大模估計(jì) 117
5.5 非光滑函數(shù)的插值 118
5.5.1 有限元空間 118
5.5.2 Clement插值 119
5.6 Nitsche權(quán)模方法 122
5.6.1 權(quán)模定義與權(quán)函數(shù)關(guān)系式 123
5.6.2 加權(quán)插值逼近定理 125
5,6.3 最大模估計(jì) 127
5.7 拋物型方程有限元解的誤差估計(jì) 139
5.7.1 半離散化解的L2-模與梯度估計(jì) 140
5.7.2 全離散化解的誤差估計(jì) 145
思考題 150
第6章 數(shù)值積分的影響 152
6.1 有限元方法中的數(shù)值積分 152
6.1.1 三角形單元上的一次精度求積公式 154
6.1.2 三角形單元上的二次精度求積公式 155
6.1.3 三角形單元上的三次精度求積公式 156
6.1.4 三角形單元上帶導(dǎo)數(shù)的三次精度求積公式 157
6.1.5 矩形單元上的數(shù)值積分 158
6.2 數(shù)值積分下的抽象誤差估計(jì) 158
6.3 相容誤差估計(jì) 163
思考題 171
第7章 非協(xié)調(diào)有限元 172
7.1 抽象的誤差估計(jì) 172
7.2 二階問題的非協(xié)調(diào)元 175
7.2.1 Crouzeix-Raviart三角形元(C-R元) 175
7.2.2 Wilson矩形元 178
7.3 四階問題的非協(xié)調(diào)元 181
思考題 187
第8章 混合有限元方法 188
8.1 混合變分問題之例 188
8.2 抽象的連續(xù)混合變分問題 191
8,2.1 混合變分問題 191
8.2.2 推廣Lax-Milgram定理 194
8.2.3 LBB條件 195
8.3 離散化逼近 197
8.4 兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例 200
8.4.1 Poisson方程邊值問題的混合有限元方法 200
8.4.2 Stokes問題的混合有限元方法 202
思考題 206
參考文獻(xiàn) 208
索引 210