本書分上、下冊(cè), 上冊(cè)內(nèi)容包括Mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), 函數(shù)極限與連續(xù), 導(dǎo)數(shù)與微分, 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用, 不定積分, 定積分, 定積分的應(yīng)用, 空間解析幾何與矢量代數(shù)等內(nèi)容。下冊(cè)內(nèi)容包括Mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用, 重積分, 曲線積分與曲面積分, 微分方程, 無窮級(jí)數(shù)等內(nèi)容。
第1 章 函數(shù)極限與連續(xù)
數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象來自于現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系，生產(chǎn)實(shí)踐和科
學(xué)試驗(yàn)中的大量問題需要人們?nèi)ヌ接懽兞颗c變量之間的相互依存關(guān)系，并由此產(chǎn)生
了函數(shù)的概念及數(shù)學(xué)模型，極限是研究函數(shù)變化趨勢(shì)的一種基本方法，它奠定了微積
分學(xué)的基礎(chǔ)．本章將介紹函數(shù)的極限與連續(xù)性等基本概念，以及它們的一些性質(zhì)．
1.1 函數(shù)的概念
1.1.1 集合 區(qū)間與鄰域
在初等數(shù)學(xué)中，我們對(duì)集合的概念已有所了解，本節(jié)僅介紹區(qū)間與鄰域的概念．
定義1.1 設(shè)a 和b 都是實(shí)數(shù)，且a ＜ b ，數(shù)集｛ x｜ a ＜ x ＜ b｝稱為開區(qū)間，記作
（ a ，b） ，即
（ a ，b） ＝ ｛ x | a ＜ x ＜ b｝ ，
a 和b 稱為開區(qū)間（ a ，b）的端點(diǎn)；數(shù)集｛ x｜ a ≤ x ≤ b｝稱為閉區(qū)間，記作［ a ，b］ ，即
［ a ，b］ ＝ ｛ x | a ≤ x ≤ b｝ ，
a 和b 也稱為閉區(qū)間［ a ，b］的端點(diǎn)；數(shù)集｛ x｜ a ≤ x ＜ b｝或｛ x｜ a ＜ x ≤b｝都稱為半開半閉
區(qū)間，分別記作［ a ，b）或（ a ，b］ ．
以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間，數(shù)b - a 稱為這些區(qū)間的長(zhǎng)度．
根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這些有限區(qū)間在數(shù)軸上表示長(zhǎng)度為有
限的線段．如閉區(qū)間［ a ，b］與開區(qū)間（ a ，b）在數(shù)軸上表示出來，分別如圖1.1 （a）與
圖1.1（b）所示．
除以上談到的有限區(qū)間外，還有無限區(qū)間．引進(jìn)記號(hào)+ ∞ （讀作正無窮大）及- ∞
（讀作負(fù)無窮大） ，則可類似地表示無限區(qū)間．例如，滿足關(guān)系式x ≥ a 的全體實(shí)數(shù)，用
區(qū)間［ a ，+ ∞ ） ＝ ｛ x｜ x ≥ a｝表示；滿足關(guān)系式x ＜ b 的全體實(shí)數(shù)，用區(qū)間（ - ∞ ，b） ＝
｛ x｜ x ＜ b｝表示，讀者可類似地定義區(qū)間（ a ，+ ∞ ）和（ - ∞ ，b］ ．
全體實(shí)數(shù)的集合R 也可記作（ - ∞ ，+ ∞ ） ，它也是無限區(qū)間．
定義1.2 設(shè)a 與δ 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ ＞ 0 ．?dāng)?shù)集
｛ x | | x - a | ＜ δ｝
稱為點(diǎn)a 的δ 鄰域，記作U（ a ，δ） ．點(diǎn)a 稱為該鄰域的中心，δ 稱為該鄰域的半徑．
因?yàn)椋?x - a｜ ＜ δ 相當(dāng)于- δ ＜ x - a ＜ δ ，即a - δ ＜ x ＜ a + δ ，所以
U（ a ，δ） ＝ ｛ x｜ a - δ ＜ x ＜ a + δ｝ ．
圖1.2
由此看出，U（ a ，δ）也就是開區(qū)間（ a - δ ，a + δ） ，
該區(qū)間以點(diǎn)a 為中心，而長(zhǎng)度為2 δ（如圖1.2） ．
以a 點(diǎn)為中心的δ 鄰域去掉中心a 后，稱
為點(diǎn)a 的去心δ 鄰域，記作U（＾a ，δ） ，即
U（＾a ，δ） ＝ ｛ x | 0 ＜ | x - a | ＜ δ｝ ，
這里0 ＜ ｜ x - a｜就表示了x ≠ a ．
1.1.2 函數(shù)的概念
下面介紹兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系．
定義1.3 設(shè)x 和y 是兩個(gè)變量，D 是一個(gè)給定的數(shù)集．如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x ∈ D ，
變量y 按照一定法則f 總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y 是x 的函數(shù)，記作y ＝ f（ x） ．
數(shù)集D 稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，x 稱為自變量，y 稱為因變量．
當(dāng)x 取數(shù)值x0 ∈ D 時(shí)，與x0 對(duì)應(yīng)的y 的數(shù)值稱為函數(shù)y ＝ f（ x）在點(diǎn)x0 處的函
數(shù)值，記作f（ x0 ） ．全體函數(shù)值的集合W ＝ ｛ y｜ y ＝ f（ x） ，x ∈ D｝稱為函數(shù)的值域．
對(duì)于任意x ∈ D ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y ＝ f（ x） ．這樣，以x 為橫坐標(biāo)、y 為縱坐標(biāo)就
在xOy 平面上確定一點(diǎn)（ x ，y） ，當(dāng)x 取遍D 上的每一個(gè)數(shù)值時(shí)，就得到點(diǎn)（ x ，y）的一
個(gè)集合C ：
C ＝ ｛（ x ，y） | y ＝ f（ x） ，x ∈ D｝
稱這個(gè)點(diǎn)集C 為函數(shù)y ＝ f（ x）的圖形．
由函數(shù)的定義知，確定一個(gè)函數(shù)必須知道定義域和對(duì)應(yīng)法則．于是定義域D 和
對(duì)應(yīng)法則f 就稱為確定函數(shù)關(guān)系的兩大要素．兩個(gè)函數(shù)相同，是指函數(shù)的定義域和
對(duì)應(yīng)法則分別相同．
例1 設(shè)有兩個(gè)函數(shù)y ＝ ex ，y ＝ xex
x ．前者的定義域?yàn)椋?- ∞ ，+ ∞ ） ；后者的定義
域?yàn)椋?- ∞ ，0） ∪ （0 ，+ ∞ ） ，因此這兩個(gè)函數(shù)不相同．
例2 函數(shù)f（ x） ＝ sin x + lnx + 1 與g（ t） ＝ sint + lnt + 1是相同的．因?yàn)檫@兩個(gè)
函數(shù)除自變量所采用的字母不同，定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同．
在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實(shí)際意義確定的．如果不考慮函數(shù)的
實(shí)際意義，而抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)，函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算
式有意義的一切實(shí)數(shù)值．
在函數(shù)的定義中，對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x 值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值只能有唯一的一個(gè)，
這種函數(shù)稱為單值函數(shù)；若允許同一x 值可以和不止一個(gè)y 值相對(duì)應(yīng)，則稱它為多
值函數(shù)．以后沒有特別說明的，函數(shù)都是指單值函數(shù)．
表示函數(shù)的方法有三種：解析法、列表法、圖像法．三種表示法各有其優(yōu)缺點(diǎn)，在
解決實(shí)際問題時(shí)要根據(jù)問題的特點(diǎn)選用適當(dāng)?shù)谋硎痉ɑ蛘呷N方法并用．
高等數(shù)學(xué)所討論的函數(shù)，有時(shí)會(huì)遇到在自變量x 的不同取值范圍內(nèi)用不同的解
析式子表示的函數(shù)，通常稱為分段函數(shù)．
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