目錄
前言
第1章 一元多項式理論 1
1.1 一元多項式 1
1.2 整除理論 7
1.3 最大公因式 12
1.4 因式分解 20
1.5 重根和多項式函數(shù) 25
1.6 代數(shù)基本定理與復、實多項式因式分解 29
1.7 有理多項式的因式分解 32
本章拓展題 38
第2章 多元多項式理論 40
2.1 多元多項式 40
2.2 對稱多項式 45
2.3 結式及二元高次方程組的求解 51
2.4 多元多項式的幾何 61
2.5 多元高次方程組的消元法簡介 64
本章拓展題 69
第3章 直和理論與方程組的通解公式 70
3.1 子空間的交與和 70
3.2 直和與正交 75
3.3 矛盾方程組的最小二乘解 80
3.4 廣義逆矩陣及對方程組解的應用 86
本章拓展題 94
第4章 線性映射與線性變換初步 95
4.1 線性映射的定義及運算 95
4.2 線性映射的矩陣 98
4.3 線性變換及其矩陣 102
4.4 線性變換的特征理論 109
本章拓展題 112
第5章 線性映射 (續(xù)) 113
5.1 像集與核同構映射 113
5.2 像集與核的關系 118
5.3 商空間與積空間 123
5.3.1 商空間 123
5.3.2 積空間 125
5.4 正交映射歐氏空間的同構 128
5.5 鏡面反射 133
5.6 旋轉簡介 138
第6章 等距變換與幾何變換 139
6.1 平面上的等距變換 139
6.1.1 映射 139
6.1.2 平面上等距變換的定義及例子 140
6.1.3 平面上等距變換的性質 141
6.1.4 等距變換的坐標變換公式及等距變換的分解 143
6.2 平面上的仿射變換 146
6.2.1 平面上的仿射變換的定義與例子 146
6.2.2 平面上仿射變換的性質 148
6.2.3 仿射坐標系與仿射變換的坐標表示 152
6.2.4 平面上仿射變換的分解 153
6.3 空間等距變換 157
6.4 空間仿射變換 161
6.5 變換群與幾何學二次曲面的度量分類和仿射分類 162
6.5.1 變換群與幾何學 162
6.5.2 二次曲面的度量分類和仿射分類 164
第7章 Jordan標準形理論 165
7.1 不變子空間 165
7.2 Jordan標準形的存在性和 Jordan-Chevalley分解 172
7.3 方陣的相似對角化與最小多項式 179
7.4 λ-矩陣及其標準形 186
7.5 行列式因子與標準形的唯一性 194
7.6 數(shù)字矩陣相似的刻畫 205
7.7 Jordan標準形的唯一性和計算 210
本章拓展題 216
第8章 線性函數(shù)與歐氏空間的推廣 217
8.1 線性函數(shù)與對偶空間 217
8.2 雙線性函數(shù) 225
8.2.1 雙線性函數(shù)的矩陣表達 226
8.2.2 不同基下雙線性函數(shù)度量矩陣的關系 228
8.2.3 非退化雙線性函數(shù) 228
8.2.4 對稱/反對稱雙線性函數(shù) 229
8.3 歐氏空間的推廣 239
8.4 辛空間 244
本章拓展題 251
第9章 射影幾何初步 253
9.1 擴大的歐氏平面 253
9.2 射影平面 255
9.3 射影坐標 257
9.4 射影幾何的內容對偶原則 261
9.5 交比 265
9.5.1 交比的定義和性質 265
9.5.2 一維射影變換 270
9.5.3 二維射影變換 (直射) 272
9.6 透視 274
9.7 配極 278
9.8 Steiner定理和Pascal定理 284
9.9 非歐幾何簡介 289
9.9.1 射影測度 289
9.9.2 歐幾何 294
參考文獻 299
附錄 B 300
B.1 幾何基礎簡介 300
B.1.1 公理法簡介 301
B.1.2 歐氏幾何公理體系 302
B.1.3 非歐幾何公理體系 303
B.2 整數(shù)理論的一些基本性質 304
B.3 等價關系與商集 308