第 I 部分 建模、計算機和誤差分析
第1章 數(shù)學(xué)建模、數(shù)值方法和問題
求解 3
1.1 一個簡單的數(shù)學(xué)模型 4
1.2 工程與科學(xué)中的守恒定律 9
1.3 本書所涉及的數(shù)值方法 11
1.4 案例研究：自由落體 12
習(xí)題 14
第2章 Python基礎(chǔ) 24
2.1 Spyder/IPython運行環(huán)境 25
2.2 賦值 26
2.2.1 標量 26
2.2.2 數(shù)組、向量和矩陣 27
2.2.3 下標和下標的范圍 30
2.2.4 arange、linspace和logspace函數(shù) 30
2.2.5 字符串 31
2.3 數(shù)學(xué)運算 33
2.4 使用內(nèi)置函數(shù) 37
2.5 制圖 41
2.6 其他資源 47
2.7 案例研究：探索性數(shù)據(jù)分析 48
習(xí)題 51
第3章 Python編程 57
3.1 Python腳本文件 58
3.1.1 Python腳本 58
3.1.2 Python函數(shù) 59
3.1.3 變量作用域 61
3.2 輸入和輸出 63
3.3 結(jié)構(gòu)化編程 66
3.3.1 決策流程 66
3.3.2 關(guān)于參數(shù)的更多信息 70
3.3.3 循環(huán) 71
3.4 嵌套和縮進 76
3.5 帶有函數(shù)名稱參數(shù)的Python函數(shù) 79
3.5.1 lambda函數(shù) 79
3.5.2 函數(shù)-函數(shù) 80
3.5.3 參數(shù)傳遞 83
3.6 案例研究：蹦極者的速度計算 85
習(xí)題 88
第4章 舍入和截斷誤差 100
4.1 誤差 100
4.1.1 準確度和精確度 101
4.1.2 誤差定義 101
4.1.3 迭代計算的計算機算法 104
4.2 舍入誤差 106
4.2.1 計算機中數(shù)字的表示法 106
4.2.2 計算機中數(shù)字的算術(shù)運算 111
4.3 截斷誤差 113
4.3.1 泰勒級數(shù) 113
4.3.2 泰勒級數(shù)式的余數(shù) 116
4.3.3 使用泰勒級數(shù)估計截斷誤差 118
4.3.4 數(shù)值微分 118
4.4 總數(shù)值誤差 122
4.4.1 數(shù)值微分的誤差分析 122
4.4.2 數(shù)值誤差的控制 125
4.5 錯誤、模型誤差和數(shù)據(jù)不確定性 125
4.5.1 錯誤 125
4.5.2 模型誤差 126
4.5.3 數(shù)據(jù)不確定性 126
習(xí)題 126
第Ⅱ部分 求根和最優(yōu)化
第5章 求根：交叉法 133
5.1 工程和科學(xué)應(yīng)用中的求根問題 133
5.2 圖形和試錯法 134
5.3 交叉法和初步猜測 137
5.4 二分法 140
5.5 試位法 146
5.6 案例研究：溫室氣體和雨水 148
習(xí)題 152
第6章 根：開型法 159
6.1 不動點迭代 160
6.2 韋格斯坦法 164
6.3 牛頓-拉夫遜法 168
6.4 正割法 174
6.5 布倫特法 175
6.5.1 逆二次插值法 175
6.5.2 布倫特法的算法 177
6.6 Python SciPy函數(shù)：brentq 179
6.7 多項式 180
6.8 案例研究：管道摩擦 183
習(xí)題 188
第7章 優(yōu)化 198
7.1 背景介紹 199
7.2 一維優(yōu)化 201
7.2.1 黃金分割搜索 201
7.2.2 拋物線插值 207
7.2.3 Python的SciPy函數(shù)：
minimize_scalar 208
7.3 多維優(yōu)化 210
7.4 案例研究：平衡和最小勢能 212
習(xí)題 214
第Ⅲ部分 線性方程組
第8章 線性代數(shù)方程與矩陣 226
8.1 矩陣代數(shù)概述 227
8.1.1 矩陣符號 228
8.1.2 矩陣運算規(guī)則 229
8.1.3 用矩陣形式表示線性代數(shù)方程 237
8.2 用Python求解線性代數(shù)方程 238
8.3 案例研究：電路中的電流和
電壓 240
習(xí)題 243
第9章 高斯消元法 249
9.1 求解少量方程 249
9.1.1 圖解法 250
9.1.2 行列式和克萊默法則 251
9.1.3 消除未知數(shù)法 253
9.2 樸素高斯消元法 254
9.2.1 Python函數(shù)：gaussnaive 256
9.2.2 運算計數(shù) 258
9.3 主元 260
9.3.1 Python函數(shù)：gausspivot 261
9.3.2 用高斯消元法求行列式 262
9.4 三對角方程組 263
9.5 案例研究：加熱棒模型 265
習(xí)題 268
第10章 LU因式分解法 275
10.1 LU分解法概述 275
10.2 LU分解的高斯消元 276
10.2.1 涉及主元消元的LU分解 279
10.2.2 應(yīng)用Python的LU分解法 281
10.3 喬里斯基分解法 282
10.4 Python的np.linalg.solve函數(shù) 284
習(xí)題 285
第11章 矩陣的逆和條件 287
11.1 矩陣的逆 287
11.1.1 計算逆矩陣 287
11.1.2 刺激-響應(yīng)計算 289
11.2 錯誤分析和系統(tǒng)狀態(tài) 290
11.2.1 向量和矩陣范數(shù) 291
11.2.2 矩陣條件數(shù) 292
11.2.3 用Python計算范數(shù)和
條件數(shù) 293
11.3 案例研究：室內(nèi)空氣污染 294
習(xí)題 297
第12章 迭代法 302
12.1 線性方程組：高斯-賽德爾法 302
12.1.1 收斂性和對角優(yōu)勢 304
12.1.2 Python函數(shù)：gaussseide1 304
12.1.3 松弛 306
12.2 非線性系統(tǒng) 307
12.2.1 逐次代換法 307
12.2.2 牛頓-拉夫遜法 309
12.2.3 Python SciPy函數(shù)：root 313
12.3 案例研究：化學(xué)反應(yīng) 314
習(xí)題 316
第13章 特征值 321
13.1 特征值和特征向量
基礎(chǔ)知識 322
13.2 特征值和特征向量的應(yīng)用 324
13.2.1 二階微分方程的一階等價
方程 325
13.2.2 特征值和特征向量在微分
方程解中的作用 325
13.2.3 特征值和純振蕩的常微分
方程 326
13.3 物理場景-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng) 329
13.4 冪法 331
13.5 Python NumPy函數(shù)：eig和
eigvals 333
13.6 案例研究：特征值與地震 334
習(xí)題 338

第Ⅳ部分 曲線擬合
第14章 直線線性回歸 346
14.1 統(tǒng)計學(xué)回顧 347
14.1.1 描述性統(tǒng)計 347
14.1.2 正態(tài)分布 351
14.1.3 使用Python進行描述性統(tǒng)計 354
14.2 隨機數(shù)和模擬 357
14.2.1 均勻分布中的隨機數(shù) 357
14.2.2 正態(tài)分布中的隨機數(shù) 359
14.3 直線最小二乘回歸 361
14.3.1 最佳擬合的標準 362
14.3.2 直線的最小二乘擬合 363
14.3.3 繪制直線的荒島法 365
14.3.4 線性回歸誤差的量化 365
14.4 非線性關(guān)系的線性化 370
14.5 計算機應(yīng)用 375
14.5.1 Python函數(shù)：strlinregr 375
14.5.2 Python NumPy函數(shù)：
polyfit和polyval 378
14.6 案例研究：酶動力學(xué) 379
習(xí)題 382
第15章 一般線性回歸和非線性回歸 393
15.1 多項式回歸 393
15.2 多元線性回歸 397
15.3 一般線性最小二乘回歸 399
15.4 回歸中的模型建立與選擇 403
15.5 非線性回歸 409
15.6 案例研究：擬合實驗數(shù)據(jù) 414
習(xí)題 417
第16章 傅里葉分析 424
16.1 用正弦函數(shù)進行曲線擬合 425
16.2 連續(xù)傅里葉級數(shù) 430
16.3 頻域和時域 432
16.4 傅里葉積分和變換 435
16.5 離散傅里葉變換(DFT) 435
16.5.1 快速傅里葉變換(FFT) 436
16.5.2 Python SciPy函數(shù)：fft 437
16.6 功率譜 439
16.7 案例研究：太陽黑子 440
習(xí)題 442
第17章 多項式插值法 446
17.1 插值法簡介 447
17.1.1 確定多項式系數(shù) 447
17.1.2 Python NumPy函數(shù)：
polyfit和polyval 449
17.2 牛頓插值多項式 449
17.2.1 線性插值 449
17.2.2 二次插值 451
17.2.3 牛頓插值多項式的一般形式 452
17.2.4 Python函數(shù)Newtint 454
17.3 拉格朗日插值多項式 455
17.4 逆插值 458
17.5 外推法和振蕩 458
17.5.1 外推法 458
17.5.2 振蕩 461
習(xí)題 463
第18章 樣條和分段插值 469
18.1 樣條簡介 469
18.2 線性樣條 471
18.3 二次樣條 477
18.4 三次樣條 478
18.4.1 三次樣條的推導(dǎo) 479
18.4.2 末端條件 482
18.5 Python中的分段插值 483
18.5.1 Python SciPy模塊的interpolate
函數(shù)：CubicSpline 485
18.5.2 附加的Python SciPy插值函數(shù)：
interp1d和PchipInterpolator 487
18.6 多維插值 488
18.6.1 雙線性插值 489
18.6.2 Python中的多維插值 490
18.7 數(shù)據(jù)序列的平滑 491
18.7.1 三次樣條平滑 491
18.7.2 LOESS平滑法 494
18.8 案例研究：湖中的熱傳導(dǎo) 499
習(xí)題 501

第Ⅴ部分 微積分
第19章 數(shù)值積分方程 511
19.1 背景簡介 512
19.1.1 什么是積分 512
19.1.2 工程與科學(xué)中的積分 512
19.2 牛頓-科特斯方程 514
19.3 梯形法則 516
19.3.1 梯形法則的誤差 516
19.3.2 復(fù)合梯形法則 517
19.3.3 Python函數(shù)：trap 520
19.4 辛普森法則 521
19.4.1 辛普森1/3 法則 521
19.4.2 復(fù)合辛普森1/3法則 522
19.4.3 辛普森3/8法則 524
19.5 高階牛頓-科特斯方程 526
19.6 不等段積分 526
19.6.1 Python函數(shù)：trapuneq 527
19.6.2 Python函數(shù)：trapz和
trap_cumulative 528
19.7 開放式方法 530
19.8 多重積分 531
19.9 案例研究：數(shù)值積分的計算 533
習(xí)題 536

第20章 函數(shù)的數(shù)值積分 543
20.1 簡介 543
20.2 Romberg積分 544
20.2.1 Richardson外推 544
20.2.2 Romberg積分算法 546
20.3 高斯求積法 548
20.3.1 待定系數(shù)法 548
20.3.2 兩點高斯-勒讓德公式的推導(dǎo) 550
20.3.3 高點公式 552
20.4 自適應(yīng)求積法 553
20.4.1 Python函數(shù)：quadadapt 553
20.4.2 Python SciPy積分函數(shù)：
quad 555
20.5 案例研究：均方根電流 556
習(xí)題 559
第21章 數(shù)值導(dǎo)數(shù) 565
21.1 背景簡介 566
21.1.1 什么是導(dǎo)數(shù) 566
21.1.2 工程與科學(xué)的導(dǎo)數(shù) 567
21.2 高精度導(dǎo)數(shù)公式 568
21.3 Richardson 外推法 571
21.4 不等間距數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù) 572
21.5 有誤差數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)和積分 573
21.6 偏導(dǎo)數(shù) 574
21.7 Python數(shù)值求導(dǎo) 574
21.7.1 Python NumPy函數(shù)：diff 574
21.7.2 Python NumPy函數(shù)：
gradient 577
21.8 案例研究：場的可視化 579
習(xí)題 580

第Ⅵ部分 常微分方程
第22章 初值問題 594
22.1 概述 595
22.2 歐拉法 595
22.2.1 歐拉法的誤差分析 597
22.2.2 歐拉法的穩(wěn)定性 598
22.2.3 Python函數(shù)：eulode 599
22.3 改進歐拉法 601
22.3.1 Heun方法 601
22.3.2 中點法 604
22.4 Runge-Kutta方法 605
22.4.1 二階Runge-Kutta法 605
22.4.2 經(jīng)典四階 Runge-Kutta法 606
22.5 方程組 608
22.5.1 歐拉法 609
22.5.2 Runge-Kutta法 610
22.5.3 Python 函數(shù)：rk4sys 611
22.6 案例研究：捕食者獵物
模型和變體 614
習(xí)題 618
第23章 自適應(yīng)方法和剛性系統(tǒng) 625
23.1 自適應(yīng)Runge-Kutta方法 625
23.1.1 RKF 4/5算法的Python函數(shù)：
rkf45 626
23.1.2 求解IVP ODE的Python函數(shù)：
SciPy solve_ivp積分函數(shù) 630
23.1.3 事件 633
23.2 多步法 636
23.2.1 非自啟動Heun方法 636
23.2.2 誤差估計 638
23.3 剛度 639
23.4 Python 應(yīng)用：帶繩的蹦極者 644
23.5 案例研究：普林尼的間歇噴泉 646
習(xí)題 649
第24章 邊值問題 659
24.1 背景簡介 660
24.1.1 什么是邊值問題 660
24.1.2 工程和科學(xué)中的邊值問題 660
24.2 打靶法 663
24.2.1 導(dǎo)數(shù)邊界條件 665
24.2.2 非線性常微分方程的打靶法 667
24.3 有限差分法 669
24.3.1 導(dǎo)數(shù)邊界條件 671
24.3.2 非線性 ODE 的有限差分
方法 673
24.4 Python函數(shù)：solve_bvp 674
習(xí)題 676
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附錄A Matplotlib 685
附錄B 三次樣條平滑 705
附錄C Python內(nèi)置關(guān)鍵字：函數(shù)、方法、
操作符、類型 710
附錄D 書中用到的Python函數(shù)和腳本 713
參考文獻 715