導論　數(shù)學基礎簡介 1
0.1 數(shù)學的模型化方法 1
0.1.1 應用數(shù)學的研究對象 1
0.1.2 數(shù)學模型化 1
0.2 數(shù)學中的微積分哲學 2
0.2.1 微積分文化 3
0.2.2 微積分思想 4
單元1　函數(shù) 7
1.1 集合 8
1.1.1 集合的概念 8
1.1.2 常量與變量 9
1.2 函數(shù) 10
1.2.1 函數(shù)的概念 10
1.3 初等函數(shù) 18
1.3.1 基本初等函數(shù) 18
1.3.2 復合函數(shù) 19
1.3.3 初等函數(shù) 20
1.3.4 函數(shù)模型及其建立 20
1.4 常用函數(shù) 23
1.4.1 隱函數(shù) 23
1.4.2 參數(shù)方程確定的函數(shù) 24
1.4.3 極坐標方程確定的函數(shù) 25
綜合訓練1 27
單元2　極限與連續(xù) 31
2.1 極限的概念 32
2.1.1 數(shù)列的極限 32
2.1.2 函數(shù)的極限 34
2.2 極限的運算 38
2.2.1 極限的四則運算 38
2.2.2 有理分式和根式的型極限 39
2.2.3 時有理分式的型極限 40
2.3 兩個重要極限 41
2.3.1 第一個重要極限 41
2.3.2 第二個重要極限 43
2.4 無窮大和無窮小 45
2.4.1 無窮大和無窮小 45
2.4.2 無窮小的比較 48
2.5 函數(shù)的連續(xù)性 50
2.5.1 連續(xù)函數(shù)的概念 50
2.5.2 初等函數(shù)的連續(xù)性 52
2.5.3 函數(shù)間斷的概念 53
2.5.4 連續(xù)的性質(zhì) 55
綜合訓練2 57
單元3　導數(shù)與微分 61
3.1 導數(shù)的概念 62
3.1.1 導數(shù)的定義 62
3.1.2 導數(shù)的意義 65
3.1.3 函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系 68
3.2 導數(shù)公式與求導法則 70
3.2.1 導數(shù)基本公式 70
3.2.2 線性法則 72
3.2.3 乘法法則 73
3.2.4 除法法則 74
3.2.5 復合函數(shù)的求導法則 75
3.2.6 初等函數(shù)的導數(shù) 77
3.3 高階導數(shù) 80
3.3.1 高階導數(shù)的概念 80
3.3.2 高階導數(shù)的意義 82
3.4 隱函數(shù)與由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 82
3.4.1 隱函數(shù)的求導方法 82
3.4.2 參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導方法 84
*3.4.3 對數(shù)求導法 86
3.5 函數(shù)的微分 87
3.5.1 微分的定義及意義 87
3.5.2 微分的計算及應用 89
綜合訓練3 91
單元4　導數(shù)的應用 95
4.1 變化率 96
4.1.1 物理應用 96
4.1.2 社會生活應用 97
4.1.3 相關變化率 98
4.2 函數(shù)的單調(diào)性與極值 98
4.2.1 單調(diào)性的判斷 98
4.2.2 極值的定義與必要條件 100
4.2.3 極值的判別 102
4.3 最值問題 105
4.3.1 函數(shù)最值的計算 105
4.3.2 最值問題的應用 107
4.4 曲線的凸凹性與拐點 110
4.4.1 凹凸性及拐點的定義 110
4.4.2 凹凸性的判別 111
4.4.3 凹凸性的應用 112
4.5 洛必達法則 113
4.5.1 型未定式 113
4.5.2 型未定式 115
4.5.3 其他類型的未定式 116
綜合訓練4 117
單元5　不定積分及其應用 121
5.1 不定積分的概念——微分法則的逆運算 122
5.1.1 原函數(shù)與不定積分的定義 122
5.1.2 不定積分的基本運算 125
5.2 不定積分常用計算法 127
5.2.1 換元積分法 127
5.2.2 分部積分法 130
5.2.3 有理函數(shù)積分法 132
綜合訓練5 135
單元6　定積分與反常積分 139
6.1 定積分的概念與性質(zhì) 140
6.1.1 定積分概念的引例 140
6.1.2 定積分的定義 141
6.1.3 定積分的幾何意義 143
6.1.4 定積分的性質(zhì) 144
6.2 定積分的計算 146
6.2.1 牛頓?萊布尼茲公式 146
6.2.2 定積分的換元法 147
6.2.3 定積分的分部積分法 148
6.3 反常積分 149
6.3.1 無窮限的反常積分 149
6.3.2 無界函數(shù)的反常積分 149
6.4 定積分與反常積分的進一步認識 150
6.4.1 積分上限函數(shù)及其導數(shù) 150
6.4.2 反常積分的審斂法舉例 152
綜合訓練6 153
單元7　定積分與反常積分的應用 157
7.1 幾何應用 158
7.1.1 微元法 158
7.1.2 平面圖形的面積 158
7.1.3 旋轉體的體積 160
7.2 工程應用 162
7.2.1 功的計算 162
7.2.2 液體的壓力 163
7.3 在其他方面的應用舉例 164
7.3.1 在經(jīng)濟上的應用 164
7.3.2 在生物醫(yī)藥領域的應用 165
7.4 定積分與反常積分應用的進一步認識 167
7.4.1 極坐標系下計算平面圖形的面積 167
7.4.2 平面曲線的弧長 168
綜合訓練7 169
單元8　微分方程 171
8.1 微分方程模型 172
8.1.1 數(shù)學建模初步 172
8.1.2 微分方程的概念 173
8.1.3 常見的幾種微分方程 175
8.2 微分方程的解 176
8.2.1 一階微分方程求解 176
8.2.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解 179
8.3 微分方程的應用 182
8.3.1 微分方程的實際應用 182
8.3.2 微分方程模型舉例 183
綜合訓練8 185
單元9　多元微積分基礎 189
9.1 多元函數(shù)及偏導數(shù)的計算 190
9.1.1 多元函數(shù)的定義 190
9.1.2 偏導數(shù)的計算 190
9.1.3 條件極值 194
9.2 多元函數(shù)微分法則 196
9.2.1 全增量與全微分 196
9.2.2 復合函數(shù)微分法則 197
9.2.3 隱函數(shù)的求導法則 199
9.3 二重積分的計算與應用 201
9.3.1 平面區(qū)域的數(shù)學描述 201
9.3.2 二重積分的定義 202
9.3.3 二重積分的計算 204
9.3.4 二重積分的應用 205
綜合訓練9 206
單元10　Fourier級數(shù) 209
10.1 級數(shù) 210
10.1.1 級數(shù)的定義 210
10.1.2 級數(shù)的斂散性 210
10.2 Fourier級數(shù) 212
10.2.1 三角函數(shù)系的正交性 212
10.2.2 傅里葉系數(shù)和傅里葉級數(shù) 213
10.2.3 函數(shù)在上的傅里葉展開 214
綜合訓練10 215
單元11　積分變換 217
11.1 復數(shù)及其表示 218
11.1.1 復數(shù)及其四則運算 218
11.1.2 復數(shù)的三角和指數(shù)表示 219
11.2 Laplace變換 220
11.2.1 Laplace 變換的定義 220
11.2.2 典型時間函數(shù)的Laplace變換 221
11.2.3 Laplace變換的性質(zhì) 221
11.3 Laplace逆變換及其應用 223
11.3.1 Laplace逆變換及其線性性質(zhì) 223
11.3.2 Laplace變換在解微分方程中的應用 224
綜合訓練11 225
單元12　線性代數(shù)基礎 227
12.1 行列式 228
12.1.1 二階、三行列式 228
12.1.2 n階行列式 231
12.1.3 行列式的性質(zhì) 233
12.1.4 行列式計算 236
12.2 矩陣及其運算 237
12.2.1 矩陣的概念 237
12.2.2 矩陣的運算 240
12.2.3 逆矩陣 244
12.2.4 矩陣的秩 247
12.3 初等變換和線性方程組 248
12.3.1 矩陣的初等變換 248
12.3.2 線性方程組的解 250
綜合訓練12 254
單元13　概率論基礎 257
13.1 隨機事件及其概率 258
13.1.1 隨機事件與事件的概率 258
13.1.2 條件概率、全概率公式 268
13.1.3 事件的獨立性與伯努利概型 272
13.2 隨機變量及其數(shù)字特征 276
13.2.1 隨機變量及其分布 276
13.2.2 數(shù)學期望 287
13.2.3 方差 290
綜合訓練13 293