《矩陣之美·基礎篇》從線性變換的角度對矩陣的諸多重要概念進行了新的梳理。具體而言，第1章給出了矩陣的由來，指出矩陣是表達自然界中線性變換的最為自然的工具；第2章講述了線性變換在一組基下的矩陣表達，從而引出矩陣相似的概念；第3章結(jié)合數(shù)的發(fā)展從特征分析的角度給出了一個矩陣可能包含的線性變換類型；第4章著重闡述若爾當標準形理論以及其重要的物理意義；第5章從線性變換的連續(xù)性角度，討論了矩陣的任意次冪問題；第6章從線性變換的整體縮放角度，講述了行列式的幾何意義以及相關的代數(shù)性質(zhì)；第7章和第8章的研究對象從單個的矩陣轉(zhuǎn)到矩陣的集合，著重講述了矩陣李群和矩陣李代數(shù)的相關概念及含義。
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目錄
前言
第1章 矩陣與線性變換 1
1.1 自然界中的線性變換 1
1.2 線性變換與矩陣 7
1.3 小結(jié) 8
第2章 矩陣相似與矩陣合同 10
2.1 矩陣相似 10
2.1.1 坐標系與向量 10
2.1.2 坐標轉(zhuǎn)換 12
2.1.3 相似矩陣 14
2.2 矩陣合同[選讀] 17
2.2.1 直線的長度 17
2.2.2 合同矩陣 18
2.3 小結(jié) 20
第3章 矩陣特征分析 22
3.1 矩陣的特征值與特征向量 22
3.1.1 實特征值與特征向量 22
3.1.2 復特征值與特征向量 24
3.1.3 矩陣的基本線性分解 31
3.2 特征多項式 38
3.3 小結(jié) 41
第4章 矩陣對角化與若爾當標準形 42
4.1 矩陣對角化 42
4.2 若爾當標準形 43
4.3 小結(jié) 49
第5章 矩陣的冪 51
5.1 可對角矩陣的冪 51
5.1.1 實特征值情形 53
5.1.2 復特征值情形 55
5.1.3 兩種類型特征值情形 57
5.1.4 負特征值情形 61
5.1.5 負特征值對情形 62
5.2 任意矩陣的冪 66
5.2.1 矩陣二項式定理 66
5.2.2 矩陣開方定理 69
5.3 小結(jié) 72
第6章 行列式 73
6.1 行列式的定義 73
6.2 行列式的幾何意義 74
6.3 行列式的代數(shù)解釋 75
6.4 行列式的相關概念 78
6.4.1 叉積 78
6.4.2 楔形積 81
6.4.3 混合積 87
6.5 小結(jié) 89
第7章 矩陣李群 90
7.1 群 90
7.2 置換群 96
7.3 矩陣李群 99
7.4 李群[選讀] 102
7.5 小結(jié) 103
第8章 矩陣李代數(shù) 104
8.1 矩陣指數(shù) 104
8.2 矩陣李群的李代數(shù) 109
8.3 李代數(shù) 115
8.4 矩陣李群同態(tài)定理 117
8.5 小結(jié) 118
參考文獻 119
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