本書是美國著名數(shù)學(xué)競賽專家Titu Andreescu教授及其團(tuán)隊編寫的數(shù)學(xué)競賽 數(shù)論知識教材.
書中涵蓋了整除、公約數(shù)、算術(shù)基本定理、數(shù)論函數(shù)、同余方程、模p多項 式、二次剩余、p進(jìn)賦值等主題.通過精彩的例題重點展現(xiàn)了帶余除法、裴蜀定理、 高斯弓I理、同余計算、積性函數(shù)、費馬小定理、強三角不等式、二次互反律、素數(shù)估 計、局部一整體原則的應(yīng)用.課后共有二百多道習(xí)題供練習(xí).
本書適合熱愛數(shù)學(xué)的廣大教師和學(xué)生使用，特別是從事數(shù)學(xué)競賽相關(guān)事業(yè)的 人員參考使用.
譯者序
數(shù)學(xué)競賽中包含了大量的初等題目，它們需要很強的技巧才能解決。這些技 巧顯著高于普通的中小學(xué)數(shù)學(xué)知識，又和大學(xué)數(shù)學(xué)有明顯區(qū)別。初步看去這些技 巧像是一些解題定式，深入則發(fā)現(xiàn)其更注重敏銳地觀察和巧妙地思考。大多數(shù)學(xué) 生和家長以為通過大量刷題可以獲得這些解題經(jīng)驗和技巧，但實際上經(jīng)驗和技巧 都來源于個人的思考和總結(jié)。思維就像一張網(wǎng)，從海量的知識和論述中發(fā)現(xiàn)巧妙 的思路和有力的方法。
從本人的學(xué)習(xí)過程來看，刷題時經(jīng)常自問自答的一個問題就是“這種解法 的關(guān)鍵步驟是什么從一開始的無意識問到后來的習(xí)慣性問，這樣做的結(jié)果是 每道題目最終只記住了一點點的東西。相當(dāng)于對解答的過程做了高度的概括和 標(biāo)記，也有助于對一類題目的普遍解題方法做歸納總結(jié)。因為刷題時主要目的 還是學(xué)到新的技巧和思路，題目的選擇也要考慮。個人認(rèn)為，做自己可以完成 50% - 90%的題目比較合適，這樣有大概的思路，可以過濾掉題目中比較簡單平 凡的步驟，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)題目的難點。如果最終未解決題目，對比題目難點的處理辦 法，可以找到自己未掌握的部分，經(jīng)常就是解答的關(guān)鍵步驟或者包含新的技巧。
對于某些非常巧妙的題目解答，僅僅發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵步驟還不能滿足學(xué)習(xí)目的。這 時經(jīng)常問“是怎么想到用這樣的方法”。代入解題情境，體會方法使用時題目的 狀態(tài)和特性，將合適的特點與解題方法關(guān)聯(lián)思考，就容易獲得正確的經(jīng)驗，熟練 了就成為可變化處理問題的技巧。
一本好的競賽知識書主要在于將有類似技巧的題目循序漸進(jìn)地安排在一起 （相對來說，競賽題目書只要題目列表、解答正確即可）。蒂圖（Titu）曾是美 國IMO代表隊主教練，有豐富的訓(xùn)練經(jīng)驗和資料，又編寫過多本數(shù)學(xué)競賽的書 籍。他的這本《數(shù)論：概念和問題》就是一本精品競賽知識書，有許多獨特之 處。首先，章節(jié)的設(shè)計和其他數(shù)論圖書大有不同，例如將模素數(shù)的同余式和模合 數(shù)的同余式作為標(biāo)題形成兩章來講解。這本書所提倡的是從同余方程角度思考數(shù) 學(xué)競賽中的數(shù)論問題。一般首先考慮模素數(shù)的問題，然后是模素數(shù)幕的問題，最 后是（經(jīng)常用中國剩余定理）解決模合數(shù)的問題。
這本書的深度相當(dāng)于大學(xué)本科的初等數(shù)論教材，習(xí)題普遍是非平凡的需要思 考和解題技巧的競賽題目。書中所提到的定理都是在解決競賽題目中真正有用 的，覆蓋面很廣泛。這本書的知識和技巧足夠解決IMO和預(yù)選題難度的題目。因 為這本書的題目非常精彩，有些題目解答譯者按作者主要思路，給出了自己的論 述。
在書寫排版方面，這本書基本沒有公式編號，也從不引用另外題目的公式。 如果需要，則引用定理或命題的結(jié)論，偶爾才會引用某定理證明中的方法（一般 這種方法就是難于命名的一種處理技巧）。每節(jié)的內(nèi)容安排基本上是理論結(jié)果在 前面，跟著一些具體題目上的應(yīng)用。主要定理在邏輯關(guān)聯(lián)性的方面安排較好，嚴(yán) 謹(jǐn)性方面相當(dāng)于大學(xué)教材。有趣的是，作者在上下文穿插語言中，基本上都說下 一個定理或結(jié)果很“重要、有用、關(guān)鍵\"，等等。本著中文表達(dá)的謙虛性質(zhì)，沒 有將這些詞完全翻譯�？赡苁怯捎谟⑽臄�(shù)學(xué)論述的特點，或者作者有意為之，很 多時候一句斷言，作者會把結(jié)果寫在前半句，原因?qū)懺诤蟀刖�，請讀者碰到時注 意。這也許是一個好的做法，讀者看到結(jié)果會不自覺地產(chǎn)生疑問，然后看到原因 時恍然大悟，一定程度刺激了讀者的思考。每道題目的解答作者經(jīng)常使用分析 法，從結(jié)論倒推，得到需要證明的步驟，然后再證明之。還有的時候，作者先聲 明某個結(jié)果，然后給出聲明蘊含題目結(jié)果的論述，最后證明所聲明的部分。
數(shù)論解題的三板斧（為部分競賽選手認(rèn)同）是：取模、不等式和因式分解。 舊類型的不定方程基本可以這樣搞定。讀過這本書，又可以看到兩種新的方法: 考察素因子類型和考察素因子矗次。希望讀者可以從解法的字里行間或者題目之 間的聯(lián)系中總結(jié)出更多的方法和技巧。
學(xué)無止境，吾輩皆需努力。
羅煒
2019年10月寫于杭州
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