這套數(shù)學分析教材有以下幾個創(chuàng)見.

第一,定義了賦范極限,它與一元函數(shù)極限一樣,用相同的ε-δ語言來定義,所以具有相同的性質,它又將各種函數(shù)極限的定義,定積分、重積分、曲線積分與曲面積分的定義,曲線弧長與曲面面積的定義統(tǒng)一用賦范極限來定義,這使得學生更容易掌握定積分等較復雜的概念.

第二,重新敘述了極限的直觀定義,給出了從極限直觀定義到極限的數(shù)學定義間的直接轉化過程,使學生更容易接受、理解和運用極限的定義.

第三,強調了無窮小量理論在極限理論中的核心地位,特別是給出了柯西準則與一致連續(xù)等較復雜概念的簡潔的、便于理解或運用的無窮小量等價的定義.

第四,提出了微分多中值定理與局部單射定理和向量值函數(shù)的泰勒公式,使多元函數(shù)微分學有了基本完整的定理體系,使學生更容易掌握多元函數(shù)微積分中幾個重大定理的證明.

第五,用函數(shù)語言給出了曲線、曲面、高維曲面的準確而嚴格的定義.

第六,給出了曲面面積的嚴格定義,結束了長期以來曲面面積無嚴格的數(shù)學定義的現(xiàn)狀.

第七,用張量給出了多元泰勒公式簡明易懂的表達式,由于張量是一類十分簡單的多元函數(shù),學生很容易初步掌握它.

第八,完整地敘述了康托爾的集合定義,用這個康托爾的集合定義,很容易指出羅素悖論和其他集合論悖論的邏輯錯誤所在.

第九,完整地敘述了集合論的公理系統(tǒng).

本書原名《微積分學講義》,由鄺榮雨、薛宗慈、陳平尚、蔣鐸、李有蘭編著,1989年5月出版,本書第2版仍用原名,由鄺榮雨、薛宗慈、陳平尚、李有蘭修訂,于2005年8月出版,本書第3版由鄭學安、鄺榮雨、劉繼志修訂,將上面9個創(chuàng)見寫進教材,使得這套教材產生了某種質的飛躍,并更名為《數(shù)學分析》,于2010年10月正式出版,本書第4版將第3版中出現(xiàn)的各種差錯及不足之處加以修訂,保留并增強了第3版的創(chuàng)見與特色,由鄭學安、薛宗慈、唐仲偉、陳平尚、劉繼志修訂.

本書前幾版的主要編著者鄺榮雨及編著者蔣鐸、李有蘭已仙逝,在此謹表紀念.

感謝北京師范大學數(shù)學科學學院領導對本書修訂工作的支持,感謝北京師范大學出版社對本書修訂與出版的支持.

北師范大數(shù)科學學院鄭學安

2020-08-30