本書(shū)共分3章, 即預(yù)備知識(shí)、三角不等式、名題欣賞與研究, 詳細(xì)介紹了各種類型的三角不等式, 并對(duì)這些常見(jiàn)不等式進(jìn)行了推廣與拓展, 同時(shí)還介紹了研究三角不等式的常用方法, 最后還設(shè)置了三角不等式名題欣賞與研究部分。本書(shū)中列舉的各個(gè)習(xí)題都給出了詳細(xì)的解法和分析, 且有的題目給出了多種解法, 并從多個(gè)角度進(jìn)行拓展, 使讀者開(kāi)拓眼界, 對(duì)三角函數(shù)有一個(gè)更深入的了解, 便于更好地掌握相關(guān)知識(shí)。
我們知道,代數(shù)、幾何、三角是數(shù)學(xué)的三大基石,因此她們是數(shù)學(xué)家庭中的共父同母的三姐妹,她們千絲萬(wàn)縷,變化萬(wàn)千,豐富多彩,令人羨慕,卻又美妙無(wú)限,趣味無(wú)窮,令人陶醉,令人神往!
而不等式是數(shù)學(xué)界人們目前研究和欣賞的熱門(mén)分支之一,其中從內(nèi)容上可大致將不等式分為代數(shù)不等式、幾何不等式、三角不等式(三角的內(nèi)容又可大概分為三角計(jì)算、三角等式、三角方程、三角不等式),而三角不等式又是三角知識(shí)的一個(gè)重要內(nèi)容,并且是中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹林克和初等數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱門(mén)分支。但是,當(dāng)你走遍全國(guó)的所有大書(shū)店時(shí)發(fā)現(xiàn)目前還沒(méi)有專門(mén)講述三角不等式的專著,為了彌補(bǔ)這一空缺,筆者于2014年春先收集資料,并將那些分散在“天涯海角”的“兒女”(三角不等式及其相關(guān)研究結(jié)論)“呼喚回家”“歡聚一堂”,然后對(duì)她們進(jìn)行“培訓(xùn)操練”“編排節(jié)目”(見(jiàn)目錄),讓她們“翩翩起舞”,讓她們“放聲歌唱”,讓她們展示魅力和風(fēng)采(見(jiàn)優(yōu)美精彩內(nèi)容)……她們表演的主題是《三角不等式研究與欣賞》。
第一章 預(yù)備知識(shí)
第1節(jié) 三角恒等式
第2節(jié) 相關(guān)“幾何-三角”公式或關(guān)系式
第3節(jié) 幾個(gè)重要定理
第4節(jié) 代數(shù)工具——常用重要不等式
第二章 三角不等式
第1節(jié) 基本方法
1.代換法
2.應(yīng)用舒爾不等式
3.應(yīng)用向量法
4.構(gòu)造法
5.判別式法
6.配方法
7.求導(dǎo)法
8.應(yīng)用三角母不等式
9.應(yīng)用切比雪夫不等式
10.應(yīng)用柯西不等式
11.應(yīng)用赫爾德不等式
12.應(yīng)用權(quán)方和不等式
13.應(yīng)用加權(quán)不等式
14.巧設(shè)待定參數(shù)
15.調(diào)整法
16.固定法
17.利用琴生不等式
18.利用數(shù)學(xué)歸納法
19.利用函數(shù)單調(diào)性
20.切線法
21.級(jí)數(shù)求和法
22.放縮法
第2節(jié) 基本題型
1.不等式鏈型
2.求極值型
3.整式和型
4.整式積型
5.有理分式和型三角不等式
6.無(wú)理分式和型三角不等式
7.奇妙型
第3節(jié) 經(jīng)典妙題
第4節(jié) 一題多解
第三章 名題欣賞與研究
1.正切和不等式的研究與欣賞
2.一類優(yōu)美不等式的品味與欣賞
3.“三角母不等式”漫談
4.正弦和不等式研究與欣賞
5.Garfunkel-Bankoff不等式的研究
6.一對(duì)“雌雄”三角不等式的風(fēng)采與欣賞
7.關(guān)于一個(gè)三角不等式的研究
編輯手記