第pan>章  隨機(jī)事件與概率

本章主要介紹概率的公理化定義、性質(zhì)及某些特定情形下的計算方法．在引入概率的概念之前，還需要學(xué)礎(chǔ)的概念括隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件等．

§pan>．1  隨蟣事件與樣本空間1 111  隨機(jī)試驗(yàn)

考慮一個試驗(yàn)，若滿足：①試驗(yàn)在相同情形下，可重行；②試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是明確可知的，并且不止一個}③每次試驗(yàn)結(jié)果不可預(yù)測，但總會恰好是這些可能結(jié)果中的一個壩0稱該試驗(yàn)是一個隨機(jī)試驗(yàn)，記作E．

隨機(jī)試驗(yàn)每一個可能的結(jié)果，稱為一個樣本(sample)或一個樣本點(diǎn)(sample poret)，記作。；所有可能的結(jié)果構(gòu)成的集合，稱為該試驗(yàn)的樣本空間(sample space)，記作n．顯然，0={∞)．以下是樣本空間的一些例子．

(1)若試驗(yàn)是擲一枚硬幣，考察哪一面朝上，那么可能出現(xiàn)的結(jié)果為“正面”和“反面”．記∞-一{正面)，叫：一(反面)，則樣本空間n={∞。，塒。)．

(2)若試驗(yàn)是考察英文字母使用情況，那么可能出現(xiàn)的結(jié)果為“空格”“A”“B”…“Z”，則樣本空間n一{空格，A，B，…，Z}．

(3)若試驗(yàn)是觀測一天內(nèi)某一公交車站等候車輛的人數(shù)z，那么可能的結(jié)果一定是非負(fù)整數(shù)，即樣本空間D={z：0≤z<。。)．

(4)若試驗(yàn)是測量某地區(qū)的氣溫，設(shè)測得的氣溫為￡℃，則樣本空間n={￡：￡∈k，6])，其中m為溫度，6為溫度．

(5)若試驗(yàn)是考察地震震源，則樣本點(diǎn)為(z，y，z)．其中，z：經(jīng)度，y：緯度，z：深度．樣本空間為三維空間中某一區(qū)域．

由上述例子可見，一旦試驗(yàn)E給定，就可以寫出它的樣本空問0．同時，樣本空間既可以是由點(diǎn)構(gòu)成的集合，也可以是區(qū)間、空間(一維、二維、三維、…)；樣本空間可以含有有限個樣本點(diǎn)，也可以含可列個樣本點(diǎn)．樣本空間一般根據(jù)實(shí)際問題給定．在今后的討論中，我們一般假定樣本空間是給定的．當(dāng)然，對于實(shí)際問題，如何用一個恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g來描述也是值得研究的問題，屬于隨機(jī)分析的研究范疇．

樣本空間的任一子集稱為事件(event)，記作A．換言之，事件就是由試驗(yàn)的某些可能結(jié)果組成的一個集合．如果試驗(yàn)的結(jié)含在A里面，那么就稱事件A發(fā)生了．從而由樣本空間的子集可描述隨機(jī)試驗(yàn)中的一切隨機(jī)事件．

在(1)中，令A一{“。}，則A就表示事件“硬幣正面朝上”；類似地，B一{m。)就表示事件“硬幣反面朝上”．同理，在(2)中，若出現(xiàn)的單詞為“EvENT”，則事件c={E，V，N，T)；在(3)中，若觀測人數(shù)不大于158，則記為事件D一{z：0≤z≤158}．其他例子可類推．

我們把單樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件稱為基本事件．例如在(1)中，“硬幣正面朝上”“硬幣反面朝上”都是基本事件．

由若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件，如下例所示．

口袋中裝有4只白球和2只黑球，考慮無放回地依次從中摸出兩球所可能出現(xiàn)的事件．若對行編號。4只白球分別編為pan>、2、3、4號，2只黑球編號為5、6號．如果用(f，J)表示第一次摸球摸得i號球，第二次摸球摸得J號球，則可能出現(xiàn)的結(jié)果是

(pan>，2)

(pan>，3)

(pan>，4)

(pan>，5)

(pan>，6)

(2．1)

(2，3)

(2，4)

(2，5)

(2，6)

(3，1)

(3，2)

(3，4)

(3，5)

(3，6)

(4。1)

(4，2)

(4，3)

(4，5)

(4，6)

(5，1)

(5，2)

(5，3)

(5，4)

(5，6)

(6，1)

(6，2)

(6，3)

(6，4)

(6，5)

將以上30個結(jié)果作為樣本點(diǎn)，則構(gòu)成了樣本空間．設(shè)事件A表示第一次摸出黑球，事件B表示“第二次摸出黑球”，事件c表示“第一、二次摸出黑球”，則  A一{(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}  B一{(pan>，5)，(pan>，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，(6，5))  C—f(5。6)，(6，5)......