目錄
第一章 函數(shù)與極限 1
第一節(jié) 函數(shù) 1
一、預(yù)備知識(shí) 1
二、函數(shù)的概念 3
三、函數(shù)的主要性質(zhì) 5
四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 7
五、初等函數(shù) 8
第二節(jié) 數(shù)列極限的概念與性質(zhì) 11
一、數(shù)列極限的定義 11
二、數(shù)列極限的性質(zhì) 14
第三節(jié) 函數(shù)的極限 16
一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 17
二、自變量趨于常數(shù)時(shí)函數(shù)的極限 18
三、函數(shù)極限的性質(zhì) 20
第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大 21
一、無(wú)窮小 21
二、無(wú)窮大 22
第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則 24
第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 30
第七節(jié) 無(wú)窮小的比較 36
第八節(jié) 連續(xù)函數(shù) 39
一、函數(shù)連續(xù)性的定義 39
二、間斷點(diǎn)及其類(lèi)型 41
三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性 43
四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 45
總習(xí)題一 48
第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 51
第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念 51
一、引例 51
二、導(dǎo)數(shù)的定義 53
三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 54
四、單側(cè)導(dǎo)數(shù) 54
五、導(dǎo)函數(shù) 55
六、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 58
第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 60
一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 60
二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 62
三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 63
四、基本導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則 65
五、利用Mathematica求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 67
第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 69
一、高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算 69
二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 71
三、利用Mathematica求一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 73
第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 74
一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 74
二、利用Mathematica求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 76
三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 77
四、利用Mathematica求參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 79
五、相關(guān)變化率 79
第五節(jié) 函數(shù)的微分 81
一、微分的定義 82
二、微分的幾何意義 84
三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則 84
四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 85
五、利用Mathematica求函數(shù)的微分 86
總習(xí)題二 87
第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 90
第一節(jié) 微分中值定理 90
一、 羅爾中值定理 90
二、 拉格朗日中值定理 91
三、 柯西中值定理 93
第二節(jié) 洛必達(dá)法則 95
第三節(jié) 泰勒公式 99
第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 極值與最值 106
一、函數(shù)的單調(diào)性 106
二、函數(shù)的極值 109
三、最大值和最小值 113
第五節(jié) 函數(shù)圖形的凹凸性 漸近線及函數(shù)圖形的描繪 116
一、函數(shù)圖形的凹凸性與拐點(diǎn) 116
二、曲線的漸近線 118
三、函數(shù)圖形的描繪 120
第六節(jié) 曲率 122
一、弧微分 122
二、曲率及其計(jì)算公式 123
三、曲率圓 125
總習(xí)題三 127
第四章 不定積分 129
第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 129
一、原函數(shù) 129
二、不定積分的定義 130
三、不定積分的性質(zhì) 131
四、基本積分表 131
第二節(jié) 換元積分法 134
一、第一類(lèi)換元法 134
二、第二類(lèi)換元法 137
第三節(jié) 分部積分法 141
第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分 144
一、預(yù)備知識(shí) 144
二、有理真分式的不定積分 147
三、三角函數(shù)有理式的不定積分 149
四、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分 150
第五節(jié) Mathematica在不定積分計(jì)算中的應(yīng)用 152
總習(xí)題四 154
第五章 定積分及其應(yīng)用 156
第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 156
一、引例 156
二、定積分的定義 158
三、定積分的性質(zhì) 160
第二節(jié) 微積分基本公式 162
一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 163
二、牛頓-萊布尼茨公式 165
三、利用Mathematica計(jì)算定積分 166
第三節(jié) 定積分的換元積分法與分部積分法 169
一、定積分的換元積分法 169
二、定積分的分部積分法 172
第四節(jié) 反常積分 175
一、無(wú)窮限的反常積分 175
二、無(wú)界函數(shù)的反常積分 177
*三、Γ函數(shù) 180
第五節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用 182
一、定積分的元素法 182
二、平面圖形的面積 184
三、立體的體積 187
四、平面曲線的弧長(zhǎng) 190
第六節(jié) 定積分在物理上的應(yīng)用 193
一、細(xì)直棒的質(zhì)量 193
二、變力沿直線所做的功 193
三、液體的側(cè)壓力 194
四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 195
五、引力 196
總習(xí)題五 197
第六章 常微分方程 200
第一節(jié) 微分方程的基本概念 200
一、引例 200
二、微分方程及微分方程的階 201
三、微分方程的解、通解和特解 201
第二節(jié) 可分離變量的微分方程 203
第三節(jié) 一階線性微分方程 206
第四節(jié) 利用變量代換解一階微分方程 210
一、齊次方程 210
二、伯努利方程 213
三、利用變量代換求解其他類(lèi)型一階微分方程舉例 214
第五節(jié) 可降階的高階微分方程 216
一、y(n)=f (x)型微分方程 216
二、y″=f (x, y′)型微分方程 217
三、y″=f (y, y′)型微分方程 219
第六節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 221
第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程 225
第八節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 229
總習(xí)題六 234
部分習(xí)題答案與提示 238
附錄 259
附錄一 反三角函數(shù) 259
附錄二 極坐標(biāo)系簡(jiǎn)介 261
附錄三 曲線圖 263