目錄
前言
第10章 函數序列與函數項級數 1
10.1 函數項級數的基本概念與性質 1
10.1.1 函數項級數的概念 1
10.1.2 研究問題描述 3
10.1.3 函數序列的一致收斂性 5
10.1.4 函數序列一致收斂的典型例題 8
10.1.5 函數項級數的一致收斂性 11
10.1.6 函數項級數一致收斂的典型例題 15
10.1.7 狄利克雷和阿貝爾判別方法 17
10.2 函數項級數和函數的性質 21
10.2.1 和函數的連續(xù)性 21
10.2.2 和函數的可積性 25
10.2.3 和函數的可微性 27
10.3 冪級數 32
10.3.1 冪級數的收斂域 32
10.3.2 冪級數和函數的性質 35
10.3.3 泰勒級數 38
10.3.4 泰勒級數的應用 44
10.3.5 冪級數綜合例題 46
10.4 綜合例題選講 52
10.5 提高課：伯恩斯坦多項式序列的一致收斂 56
10.6 探索類問題 58
第11章 傅里葉級數與傅里葉變換 61
11.1 傅里葉級數 61
11.1.1 傅里葉級數的基本概念 61
11.1.2 傅里葉級數逐點收斂定理 64
11.1.3 傅里葉級數的性質 69
11.1.4 以 2 為周期的函數的傅里葉級數的計算 71
11.1.5 以 2l 為周期的函數的傅里葉級數的計算 75
11.1.6 余弦和正弦級數計算 78
11.2 提高課 (1)：傅里葉級數的平方逼近 85
11.3 提高課 (2) 88
11.3.1 傅里葉積分與傅里葉變換 88
11.3.2 傅里葉變換的計算 91
11.3.3 傅里葉變換的性質 93
11.3.4 離散傅里葉變換 95
11.3.5 快速傅里葉變換 99
11.3.6 快速傅里葉變換應用實例 101
11.4 提高課 (3) 104
11.4.1 小波變換初步: 信號多分辨分析 105
11.4.2 小波變換應用實例 112
11.5 探索類問題 120
第12章 多變量函數的極限與連續(xù) 122
12.1 歐幾里得空間 122
12.2 n 維歐幾里得空間中點集的基本概念和性質 124
12.3 歐幾里得空間中點列的極限 130
12.4 多元函數的極限 133
12.4.1 多元函數的定義 133
12.4.2 多元函數極限的定義 136
12.4.3 多元函數極限基本理論 139
12.4.4 多元函數極限典型例題 141
12.4.5 累次極限 144
12.5 多元連續(xù)函數 147
12.5.1 多元連續(xù)函數的概念 147
12.5.2 多元函數的一致連續(xù) 150
12.5.3 偏連續(xù)與全連續(xù) 153
12.6 有界閉集上多元連續(xù)函數的性質 155
12.7 綜合例題選講 156
12.8 探索類問題 160
第13章 多元函數微分學 162
13.1 全微分與偏導數 162
13.1.1 多元函數的微分與偏導數 162
13.1.2 多元復合函數求導 168
13.1.3 方向導數與梯度 173
13.1.4 高階偏導數 178
13.1.5 高階微分 184
13.2 中值定理與泰勒公式 186
13.2.1 多變量函數的中值定理 186
13.2.2 多變量函數的泰勒公式 188
13.3 多元函數的極值 195
13.3.1 關于矩陣的幾個概念和性質 195
13.3.2 多元函數的無約束極值 196
13.4 隱函數存在定理及應用 204
13.4.1 函數行列式 204
13.4.2 隱函數存在定理 207
13.4.3 隱函數組存在定理 212
13.4.4 隱函數的應用: 方程換元 221
13.4.5 隱函數的幾何應用 226
13.5 條件極值 234
13.6 提高課 242
13.6.1 離散數據擬合：線性模型最小二乘方法 242
13.6.2 離散數據擬合: 非線性模型最小二乘方法 244
13.6.3 數值優(yōu)化初步 248
13.7 探索類問題 254
第14章 向量函數的微分學 256
14.1 向量函數的極限與連續(xù) 256
14.1.1 向量函數 256
14.1.2 向量與矩陣范數 259
14.1.3 向量函數的極限 261
14.1.4 向量函數的連續(xù)與一致連續(xù) 263
14.2 向量函數的微分 267
14.2.1 向量函數的導數與微分 267
14.2.2 向量函數導數的計算 269
14.2.3 向量函數的中值定理 273
14.2.4 向量函數的應用: 開普勒定律的證明 274
14.3 探索類問題 277
第15章 常微分方程與數值解法初步 280
15.1 微分方程與數學建模 280
15.1.1 微分方程基本概念 280
15.1.2 微分方程與數學建模 281
15.2 一階常微分方程的解法 283
15.2.1 一階常微分方程的分離變量法 283
15.2.2 齊次方程 284
15.2.3 一階線性微分方程與伯努利方程 286
15.2.4 可降階的高階微分方程 288
15.3 二階線性常微分方程的解法 291
15.3.1 二階線性微分方程解的結構 291
15.3.2 參數變異方法 293
15.3.3 常系數二階線性齊次常微分方程 295
15.3.4 常系數二階線性非齊次常微分方程 297
15.3.5 二階線性常微分方程的冪級數解法與歐拉方程 299
15.4 綜合應用實例 301
15.5 提高課 (1) 306
15.5.1 線性微分方程組的求解 306
15.5.2 常微分方程初值問題的幾個基本問題 310
15.5.3 常微分方程數值解初步 313
15.6 提高課 (2) 316
15.6.1 三級火箭問題研究 316
15.6.2 人口模型研究 319
15.6.3 微分方程組建模 323
15.7 探索類問題 327
第16章 重積分 329
16.1 二重積分的定義與計算 329
16.1.1 平面圖形的面積 329
16.1.2 二重積分的定義 332
16.1.3 直角坐標系下二重積分的計算 335
16.1.4 二重積分的換元公式 342
16.1.5 極坐標系下二重積分的計算 349
16.1.6 二重積分綜合例題 357
16.2 三重積分的定義與計算 364
16.2.1 三重積分的定義 364
16.2.2 直角坐標系下三重積分的計算 367
16.2.3 三重積分的換元公式 377
16.2.4 柱坐標系下三重積分的計算 380
16.2.5 球坐標系下三重積分的計算 383
16.2.6 三重積分綜合例題 388
16.3 重積分的物理應用 393
16.3.1 重心坐標 393
16.3.2 轉動慣量 394
16.3.3 引力 395
16.4 提高課 396
16.4.1 無界區(qū)域上的二重積分 396
16.4.2 無界函數的二重積分 401
16.5 探索類問題 402
第17章 曲線積分與格林公式 406
17.1 第一型曲線積分 406
17.1.1 第一型曲線積分的定義 406
17.1.2 第一型曲線積分的計算公式 408
17.1.3 第一型曲線積分的基本性質 410
17.1.4 第一型曲線積分的典型例題 411
17.2 第二型曲線積分 415
17.2.1 第二型曲線積分的定義 415
17.2.2 第二型曲線積分的計算公式 417
17.2.3 第二型曲線積分的典型例題 418
17.3 格林公式 423
17.3.1 格林公式 423
17.3.2 曲線積分與路徑的無關性 431
17.4 提高課：格林第一、二、三公式與應用 436
17.5 探索類問題 440
第18章 曲面積分 441
18.1 第一型曲面積分 441
18.1.1 空間曲面的參數方程 441
18.1.2 曲面面積的計算 444
18.1.3 第一型曲面積分的定義與計算 448
18.1.4 第一型曲面積分的典型例題 451
18.2 第二型曲面積分 458
18.2.1 雙側曲面 458
18.2.2 第二型曲面積分的定義 459
18.2.3 第二型曲面積分的計算公式 462
18.2.4 第二型曲面積分的典型例題 464
18.2.5 兩型曲面積分的關系 468
18.3 高斯公式 472
18.3.1 高斯公式 472
18.3.2 高斯公式應用例題 474
18.3.3 空間格林第二、第三公式 479
18.4 斯托克斯公式 482
18.4.1 斯托克斯公式 482
18.4.2 斯托克斯公式典型例題 485
18.4.3 空間曲線積分與路徑無關性 489
18.5 場論初步 492
18.5.1 數量場的梯度 492
18.5.2 向量場的通量與散度 493
18.5.3 向量場的環(huán)量與旋度 496
18.5.4 有勢場與勢函數 500
18.6 提高課 502
18.6.1 積分的統(tǒng)一定義 502
18.6.2 外微分 503
18.7 探索類問題 506
第19章 含參變量積分 511
19.1 含參變量常義積分的定義與性質 511
19.1.1 含參變量積分的分析性質 511
19.1.2 含參變量積分典型例題 515
19.2 含參變量無窮積分的一致收斂 520
19.2.1 含參變量無窮積分的定義 521
19.2.2 含參變量無窮積分的一致收斂判定定理 521
19.2.3 含參變量無窮積分的連續(xù)性定理與應用 529
19.2.4 含參變量無窮積分的可積性定理與應用 533
19.2.5 含參變量無窮積分的可微性定理與應用 537
19.2.6 含參變量瑕積分結論概述與應用 540
19.3 提高課：歐拉積分與應用 545
19.3.1 函數 545
19.3.2 B 函數 547
19.3.3 歐拉積分與應用 550
19.4 探索類問題 551
參考文獻554