目錄
前言 iii
第1章 引語:認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法 001
1.1 數(shù)學(xué)方法論概述 001
1.2 數(shù)學(xué)思想方法 004
1.2.1 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法 004
1.2.2 數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)教育 006
第2章 化歸:數(shù)學(xué)家的求解模式 013
2.1 化歸的基本思想 013
2.1.1 化歸的思想實質(zhì) 013
2.1.2 化歸的普遍意義 015
2.1.3 化歸與聯(lián)想 017
2.2 化歸策略(一) 020
2.2.1 映射法 020
2.2.2 構(gòu)造法 029
2.2.3 一般化與特殊化 045
2.2.4 等價化與強(qiáng)化 059
2.3 化歸策略(二) 064
2.3.1 重組法 064
2.3.2 分治法 074
2.3.3 逆變法 081
2.3.4 遞進(jìn)(退)法 088
第3章 抽象:數(shù)學(xué)物的創(chuàng)造法則 102
3.1 數(shù)學(xué)的抽象性 102
3.1.1 抽象性——數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點 102
3.1.2 數(shù)學(xué)抽象的特殊性 104
3.1.3 數(shù)學(xué)抽象的客觀基礎(chǔ) 108
3.2 數(shù)學(xué)抽象的方法 119
3.2.1 對數(shù)學(xué)抽象方法的辯證認(rèn)識 119
3.2.2 數(shù)學(xué)抽象的基本形式 121
3.2.3 數(shù)學(xué)抽象的基本原則 127
3.3 數(shù)學(xué)抽象定義賞析 131
3.3.1 函數(shù)與運(yùn)算 132
3.3.2 數(shù)的抽象構(gòu)造 135
3.3.3 動力系統(tǒng) 139
3.3.4 圖靈機(jī) 141
第4章 公理化:數(shù)學(xué)理論的“建筑師” 146
4.1 數(shù)學(xué)公理化的思想 146
4.1.1 數(shù)學(xué)公理化方法的歷史演進(jìn)過程 146
4.1.2 數(shù)學(xué)公理化方法的作用和影響 152
4.2 數(shù)學(xué)公理化方法的基本問題 157
4.2.1 實質(zhì)公理化方法與形式公理化方法 157
4.2.2 數(shù)學(xué)公理化方法的邏輯特征 159
4.3 幾個重要的公理體系 165
4.3.1 歐幾里得幾何公理體系 165
4.3.2 希爾伯特幾何公理體系 167
4.3.3 實數(shù)公理體系 170
4.3.4 ZF集合論公理系統(tǒng) 171
4.4 形式系統(tǒng)簡說 173
4.4.1 形式語言 174
4.4.2 形式語言的語義 175
4.4.3 形式語言的推理系統(tǒng) 176
4.4.4 證明與定理 177
4.4.5 推演 177
第5章 合情推理:數(shù)學(xué)猜想的邏輯引擎 179
5.1 合情推理的界定 179
5.1.1 合情推理的內(nèi)涵 179
5.1.2 合情推理與演繹推理的關(guān)系 185
5.2 歸納推理與類比推理例說 188
5.2.1 歸納推理 189
5.2.2 類比推理 199
5.2.3 歸納推理與類比推理的關(guān)系 212
5.3 合情推理模式 217
5.3.1 合情推理基本模式 217
5.3.2 合情推理模式的修正與擴(kuò)充 219
5.3.3 兩個例子 221
第6章 算法:數(shù)學(xué)發(fā)展的機(jī)械化之路 225
6.1 算法的基本思想 225
6.1.1 算法的概念 225
6.1.2 數(shù)學(xué)發(fā)展史上的算法思想 229
6.2 算法設(shè)計的一般方法 235
6.2.1 窮舉法 236
6.2.2 回溯法 237
6.2.3 貪心法 242
6.2.4 遞歸法 245
6.2.5 遞推法 251
6.3 算法理論的發(fā)展 254
6.3.1 可計算性理論 254
6.3.2 算法復(fù)雜性理論 256
第7章 展望:從數(shù)學(xué)思想方法走向數(shù)學(xué)觀念 262
7.1 數(shù)學(xué)觀念的內(nèi)涵 262
7.2 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)觀念 265
參考文獻(xiàn) 278