本書主要講述如何運用數(shù)值方法解決復(fù)雜函數(shù)方程。本書的第1部分描述了大量衍生品在各種模型中的定價方法，回顧了不同市場下常見的資產(chǎn)模型建模過程，并對多種衍生品定價的數(shù)值逼近方法進(jìn)行了實驗。這些方法包括轉(zhuǎn)換技術(shù)，諸如快速傅里葉變換、分形快速傅里葉變換、Fourier-cosine方法、鞍點法、擴散框架下的PDE以及帶跳的PIDE的有限差分方法以及蒙特卡羅模擬等。第2部分側(cè)重于實際市場中衍生品定價的基本步驟。作者討論了如何通過調(diào)整模型參數(shù)使模型價格符合市場價格，其中還涵蓋了各種濾波技術(shù)及其實現(xiàn)方法，并給出過濾技術(shù)和參數(shù)估計的例子。本書為讀者準(zhǔn)確模擬衍生品定價提供了有效的數(shù)值方法。本書可作為金融工程專業(yè)高年級學(xué)生的教材，也可作為金融從業(yè)人員的參考書。
前言無論意欲取得任何進(jìn)展，都始終非常有必要引入近似技術(shù)，也就是數(shù)值計算。因此，對復(fù)雜函數(shù)方程的數(shù)值計算方法再一次成為我努力研究的一個主要方向。事實上我對數(shù)值分析從未產(chǎn)生過這樣的興趣，同我這一代大多數(shù)的數(shù)學(xué)家一樣，我也曾認(rèn)為這是一項功利的研究。對數(shù)值解的研究被認(rèn)為是無能數(shù)學(xué)家最后的救命稻草。然而事實是，一旦從事這一領(lǐng)域的研究，就很快意識到得出數(shù)值解比建立一般的存在性和唯一性定理會要求更強的能力和更深刻的理解。獲得一個有效的算法比證明一個定理要更有難度。任何科學(xué)理論的最終目標(biāo)都是具體的數(shù)字推導(dǎo)。這是節(jié)取自理查德·貝爾曼的著作《颶風(fēng)之眼》185頁的一段話�？紤]到量化金融的發(fā)展已經(jīng)離不開計算（數(shù)值）技術(shù)以及近年來其在金融領(lǐng)域改革中的影響，引用這段話作為前言還是十分合適的。在對大多數(shù)應(yīng)用問題和物理現(xiàn)象的解釋中，我們總是試圖尋找一個接近真實解的近似值。因此，掌握一些計算方法或數(shù)值算法是必需的。在量化金融中，除了少數(shù)情況存在解析或半解析的解以外，我們通常使用近似值代替真實解。隨著如今越來越復(fù)雜的金融產(chǎn)品的誕生，定量分析師、金融工程師和金融行業(yè)中其他的從業(yè)者特別需要穩(wěn)健的數(shù)值解。計算金融研究領(lǐng)域已經(jīng)在迅速發(fā)展，并且越來越復(fù)雜的金融產(chǎn)品和市場的發(fā)展也將會對數(shù)值方法提出更高的需求。本書是基于我在哥倫比亞大學(xué)和紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)研究所使用的講稿完善而成的。書中主題的選擇受到了我在教學(xué)過程中學(xué)生和市場需求的影響。我的同事兼朋友Rama Cont，建議我將這些筆記整合為一部教科書并出版。我們的目的是編寫一本有關(guān)金融中的數(shù)值計算方法的教科書，全方位介紹金融衍生品合約和相關(guān)產(chǎn)品的定價方法，同時介紹一些算法、模擬、模型校準(zhǔn)和各類實用的參數(shù)估計的例子。本書是針對金融工程或金融數(shù)學(xué)方向第一或第二年級研究生、量化分析人員、研究人員、模型實現(xiàn)技術(shù)專家和對這一領(lǐng)域感興趣的讀者編寫的，宗旨是保持本書的自包含性和觀點的獨立性�？傮w來說，我們不會在理論方面進(jìn)行太多的正式講述。本書的目的不在于從細(xì)節(jié)上研究隨機微積分或者鞅定價，因為它們不是理解書中內(nèi)容的先決條件。雖然在某些情況下有些理論是不可避免的，但我將盡可能給出足夠的解釋，以保證讀者在不需要深入了解其背后理論或派生理論的前提下可以繼續(xù)閱讀。本書由兩部分組成。第一部分描述了各種衍生品合約定價的方法技術(shù)和各種模型及其過程的估計。在第二部分中，我們著重于模型校準(zhǔn)、校準(zhǔn)步驟、濾波和參數(shù)估計等方面。第1章回顧了一些基本概念，主要涉及隨機過程的特征函數(shù)。這一章展示了如何應(yīng)用特征函數(shù)生成結(jié)果分布的矩以及如何派生出不同過程的特征函數(shù)。同時，書中還回顧了各類標(biāo)準(zhǔn)分布的特征函數(shù)。在這一章中我提供了一個獨立的列表，其中包括一些從業(yè)者在衍生品定價模型中最常用的隨機過程，但這還不是一份最全面的列表，它并不能覆蓋在實際中使用到的每一個隨機過程。在描述這些過程時，我們盡可能提供詳細(xì)的數(shù)學(xué)描述，包括每一個分布的特征函數(shù)、存在的封閉形式以及存在封閉式的隨機微分方程。最后，回顧了風(fēng)險中性定價及測度變換。與標(biāo)的資產(chǎn)的隨機模型相結(jié)合后，這些理論構(gòu)成了金融衍生品定價算法的基礎(chǔ)。第2~6章涵蓋了多種衍生品合約定價的計算，包括(a)轉(zhuǎn)換技術(shù)，(b)有限差分法求解偏微分方程和部分可積微分方程和(c)蒙特卡羅模擬。第2章講述了一系列變換技術(shù)，其中包括快速傅里葉變換技術(shù)，分形快速傅里葉變換，F(xiàn)ourier-cosine(COS)方法和鞍點法。討論了每種方法的利弊，并提供大量的交叉比較。第3章介紹了如何使用有限差分方法對偏微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，其重點是用幾種最常用的有限差分技術(shù)求解偏微分方程，即顯式的、隱式的、Crank-Nicolson和多步法等幾種方法，并討論了這些方法的穩(wěn)定性以及偏微分方程離散化后生成的剛性矩陣的不同結(jié)構(gòu)，并且提供了解決線性方程組的方法。同時，本章提供了一個通過有限差分進(jìn)行導(dǎo)數(shù)逼近的通用方法。第4章利用第3章中介紹的有限差分法對Vanilla及奇異衍生品進(jìn)行定價。其中，這類衍生品的價格是可以被諸如Black-Scholes模型、一維局部波動率模型、二維Heston隨機波動率模型等偏微分方程模型表示的。講述如何實現(xiàn)邊界條件和運動邊界，建立非均勻網(wǎng)格點和協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)換以及如何處理帶跳的條件。第5章涵蓋了通過有限差分技術(shù)對部分可積微分方程進(jìn)行數(shù)值求解來對各類衍生品進(jìn)行定價。介紹了出現(xiàn)在純跳框架下的PIDE，例如方差伽馬(VG)模型和CGMY模型。對于閉合式、無特征函數(shù)、同時到期結(jié)算結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜的衍生品合約，例如非Markov過程，或者高維度的過程或模型，則利用蒙特卡羅模擬對其進(jìn)行定價和估值。第6章講述了蒙特卡羅模擬方法。討論了不同的抽樣方法和不同分布的抽樣方法，同時也會涉及一部分蒙特卡羅積分和隨機微分方程數(shù)值積分的內(nèi)容。由于模擬時產(chǎn)生的方差會對結(jié)果的精確性造成影響，這一章也講述了一些方差縮減技術(shù)來解決這一主要缺點，同時還深入研究了對一些純跳過程的模擬。本書的第二部分著重分析了實際市場中衍生品定價和估值的基本步驟。第7章討論了如何通過調(diào)整模型參數(shù)
Ali Hirsa 哥倫比亞大學(xué)和紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)研究所教授，作者在教授研究生課程時積累了豐富的經(jīng)驗，同時作者在投資銀行和對沖基金的數(shù)量金融領(lǐng)域中也工作多年，有著豐富研究、交易經(jīng)驗。
目錄符號及縮寫清單xv圖清單xvii表清單xxi前言xxv致謝xxixⅠ定價與估值11 隨機過程及風(fēng)險中性定價31.1 特征函數(shù)31.1.1 累積分布函數(shù)的特征函數(shù)41.1.2 隨機變量矩的特征函數(shù)51.1.3 去中心化隨機變量的特征函數(shù)51.1.4 Jensen不等式修正的計算61.1.5 對數(shù)鞅特征函數(shù)的計算61.1.6 指數(shù)分布71.1.7 Gamma分布81.1.8 Lévy過程81.1.9 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布81.1.10 正態(tài)分布91.2 資產(chǎn)定價的隨機模型101.2.1 幾何布朗運動Black-Scholes模型101.2.1.1 隨機微分方程101.2.1.2 Black-Scholes偏微分方程111.2.1.3 Log幾何布朗運動的特征函數(shù)111.2.2 局部波動率模型Derman模型和Kani模型111.2.2.1 隨機微分方程111.2.2.2 廣義Black-Scholes公式121.2.2.3 特征函數(shù)121.2.3 隨機波動率下的幾何布朗運動Heston模型121.2.3.1 Heston隨機波動率模型隨機微分方程121.2.3.2 Heston模型Log資產(chǎn)價格的特征函數(shù)121.2.4 混合模型隨機局部波動率（SLV）模型181.2.5 帶均值回歸的幾何布朗運動Ornstein-Uhlenbeck過程191.2.5.1 Ornstein-Uhlenbeck過程隨機微分方程191.2.5.2 Vasicek模型201.2.6 Cox-Ingersoll-Ross 模型211.2.6.1 隨機微分方程211.2.6.2 積分特征函數(shù)211.2.7 Variance Gamma模型211.2.7.1 隨機微分方程221.2.7.2 特征函數(shù)231.2.8 CGMY模型241.2.8.1 特征函數(shù)251.2.9 正態(tài)逆高斯模型251.2.9.1 特征函數(shù)251.2.10 帶隨機抵達(dá)（VGSA）的Variance Gamma模型251.2.10.1 隨機微分方程261.2.10.2 特征函數(shù)261.3 不同測度下的衍生品定價271.3.1 風(fēng)險中性測度下的資產(chǎn)定價271.3.2 概率測度變換281.3.3 遠(yuǎn)期測度下的資產(chǎn)定價291.3.3.1 利率下限/上限定價301.3.4 互換測度下的定價311.4 衍生品的種類32習(xí)題332 應(yīng)用變換技術(shù)對衍生品定價352.1 應(yīng)用傅里葉變換對衍生品定價352.1.1 看漲期權(quán)定價362.1.2 看跌期權(quán)定價392.1.3 積分定價的評估412.1.3.1 數(shù)值積分412.1.3.2 快速傅里葉變換422.1.4 快速傅里葉變換的實現(xiàn)432.1.5 阻尼因子432.2 分形快速傅里葉變換472.2.1 分形快速傅里葉變換的構(gòu)造502.2.2 分形快速傅里葉變換的實現(xiàn)522.3 應(yīng)用Fourier-Cosine（COS）方法對衍生品定價542.3.1 COS方法552.3.1.1 任意函數(shù)的余弦級數(shù)展式552.3.1.2 用特征函數(shù)表示余弦級數(shù)的系數(shù)562.3.1.3 COS期權(quán)定價572.3.2 不同收益的COS期權(quán)定價法572.3.2.1 Vanilla期權(quán)的COS定價法582.3.2.2 數(shù)字期權(quán)的COS定價法592.3.3 COS方法的截斷區(qū)域592.3.4 COS方法的數(shù)值計算結(jié)果592.3.4.1 幾何布朗運動（GBM）592.3.4.2 Heston隨機波動率模型602.3.4.3 Variance Gamma（VG）模型612.3.4.4 CGMY模型622.4 路徑相關(guān)期權(quán)的Cosine定價法632.4.1 百慕大期權(quán)632.4.2 離散障礙期權(quán)652.4.2.1 數(shù)值計算COS法與蒙特卡羅法652.5 鞍點法662.5.1 廣義Lugannani-Rice近似672.5.2 期權(quán)定價的尾概率描述682.5.3 期權(quán)定價的Lugannani-Rice近似702.5.4 鞍點近似法的實現(xiàn)712.5.5 鞍點法的數(shù)值結(jié)果732.5.5.1 幾何布朗運動（GBM）732.5.5.2 Heston隨機波動率模型732.5.5.3 Variance Gamma模型742.5.5.4 CGMY模型752.6 應(yīng)用傅里葉變換的平方期權(quán)定價76習(xí)題783 有限差分介紹833.1 泰勒展式833.2 有限差分法853.2.1 顯式差分離散化方法873.2.1.1 顯式差分的算法893.2.2 隱式差分離散化方法893.2.2.1 隱式差分的算法913.2.3 Crank-Nicolson離散化方法923.2.3.1 Crank-Nicolson的算法953.2.4 多步法963.2.4.1 多步法的算法983.3 穩(wěn)定性分析993.3.1 顯式差分算法的穩(wěn)定性1023.3.2 隱式差分算法的穩(wěn)定性1033.3.3 Crank-Nicolson算法的穩(wěn)定性1033.3.4 多步法算法的穩(wěn)定性1043.4 有限差分的導(dǎo)數(shù)逼近：廣泛逼近1043.5 矩陣方程的解法1063.5.1 三對角線矩陣的解法1063.5.2 五對角線矩陣的解法108習(xí)題110案例分析1134 應(yīng)用PDEs數(shù)值解的衍生品定價1154.1 廣義Black-Scholes偏微分方程下的期權(quán)價格1174.1.1 顯性離散化方法1174.1.2 隱性離散化方法1194.1.3 Crank-Nicolson離散化方法1204.2 邊界條件及臨界點1214.2.1 邊界條件的實現(xiàn)1214.2.1.1 Dirichlet邊界條件1224.2.1.2 Neumann邊界條件1224.2.2 確定性跳躍條件的實現(xiàn)1254.3 非均勻網(wǎng)格點1264.3.1 坐標(biāo)變換1274.3.1.1 坐標(biāo)變換后的Black-Scholes偏微分方程1294.4 維度下降法1304.5 擴散條件下路徑依賴的期權(quán)定價1314.5.1 百慕大期權(quán)1314.5.2 美式期權(quán)1334.5.2.1 百慕大式逼近1334.5.2.2 帶合成分紅過程的Black-Scholes偏微分方程1344.5.2.3 Brennan-Schwartz 算法1354.5.3 障礙期權(quán)1384.5.3.1 一次性敲出障礙期權(quán)1404.5.3.2 一次性敲入障礙期權(quán)1414.5.3.3 雙重障礙期權(quán)1414.6 正向偏微分方程1414.6.1 Vanilla看漲期權(quán)1424.6.2 下降敲出看漲期權(quán)1434.6.3 上漲敲出看漲期權(quán)1434.7 高維有限差分法1464.7.1 Heston隨機波動率模型1464.7.2 Heston偏微分方程下的期權(quán)定價1484.7.2.1 邊界條件的實現(xiàn)1534.7.3 交替方向隱式法（ADI）的算法1564.7.3.1 Heston偏微分方程Craig-Sneyd算法的導(dǎo)數(shù)1584.7.4 Heston偏微分方程1614.7.5 數(shù)值結(jié)果及結(jié)論161習(xí)題164案例分析1685 應(yīng)用PIDEs數(shù)值解的衍生品定價1715.1 PIDEs的數(shù)值解（一個廣義示例）1715.1.1 PIDE的導(dǎo)數(shù)1725.1.2 離散化1765.1.3 積分項的估計1785.1.4 微分方程1805.1.4.1 Neunann邊界條件的實現(xiàn)1835.2 美式期權(quán)1845.2.1 Heaviside項合成分紅過程1875.2.2 數(shù)值實驗1885.3 Lévy 過程的PIDE解1905.4 正向PIDEs1915.4.1 美式期權(quán)1915.4.2 下降敲出和上漲敲出看漲期權(quán)1945.5 g1和g2的計算198習(xí)題199案例分析2006 衍生品定價的模擬方法2036.1 隨機數(shù)的生成2056.1.1 標(biāo)準(zhǔn)均勻分布2056.2 各類分布樣本2066.2.1 逆變換法2066.2.2 接受-拒絕法2086.2.2.1 應(yīng)用接受-拒絕法生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)2116.2.2.2 應(yīng)用接受-拒絕法生成泊松分布隨機數(shù)2126.2.2.3 應(yīng)用接受-拒絕法生成Gamma分布隨機數(shù)2136.2.2.4 應(yīng)用接受-拒絕法生成Beta分布隨機數(shù)2136.2.3 單變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)2146.2.3.1 有理近似2146.2.3.2 Box-Muller方法2166.2.3.3 Marsaglia極方法2176.2.4 多變量正態(tài)隨機數(shù)2186.2.5 Cholesky分解 2196.2.5.1 有特定相關(guān)性的多變量分布模擬2206.3 依賴模型2226.3.1 滿秩高斯Copula模型2226.3.2 帶高斯分布的Variance Gamma表示2226.3.3 獨立Lévy過程的混合線性模型2226.4 布朗橋2236.5 蒙特卡羅積分2246.5.1 擬-蒙特卡羅方法2276.5.2 拉丁超立方體抽樣法2286.6 隨機微分方程的數(shù)值積分2286.6.1 Euler算法2296.6.2 Milstein算法2306.6.3 Runge-Kutta算法2306.7 不同模型下的SDEs模擬2316.7.1 幾何布朗運動2316.7.2 Ornstein-Uhlenbeck過程2326.7.3 CIR過程2326.7.4 Heston隨機波動率模型2326.7.4.1 完全截斷算法2336.7.5 Variance Gamma過程2346.7.6 帶隨機抵達(dá)（VGSA）的Variance Gamma過程2366.8 輸出/模擬 分析2406.9 方差縮減技術(shù)2416.9.1 控制變量法2416.9.2 對偶變量法2436.9.3 條件蒙特卡羅法2446.9.3.1 條件蒙特卡羅法的算法2456.9.4 重要性抽樣法2476.9.4.1 應(yīng)用重要性抽樣進(jìn)行方差縮減2486.9.5 分層抽樣法2496.9.5.1 觀察與發(fā)現(xiàn)2516.9.5.2 分層抽樣法的算法 2516.9.6 一般隨機數(shù)253習(xí)題254Ⅱ 校準(zhǔn)與估計2597 模型校準(zhǔn)2617.1 校驗方法2637.1.1 一般方法2647.1.2 加權(quán)最小二乘法2647.1.3 正則化校驗法2647.2 單一資產(chǎn)模型的校準(zhǔn)2657.2.1 Black-Scholes 模型2657.2.2 局部波動率模型2667.2.2.1 歐式期權(quán)的正向偏微分方程2677.2.2.2 局部波動率面的構(gòu)造2687.2.3 不變方差彈性（CEV）模型2717.2.4 Heston 隨機波動率模型2727.2.5 混合模型隨機局部波動率（SLV）模型2757.2.6 Variance Gamma模型2766.2.7 CGMY模型2777.2.8 帶隨機抵達(dá)的Variance Gamma模型2777.2.9 Lévy過程2817.3 利率模型2827.3.1 短期利率模型2857.3.1.1 Vasicek模型2857.3.1.2 Vasicek模型下的價格互換2877.3.1.3 替代的Vasicek模型校準(zhǔn)2887.3.1.4 CIR模型2897.3.1.5 CIR模型下的價格互換2927.3.1.6 替代的CIR模型校準(zhǔn)2937.3.1.7 Ho-Lee模型2947.3.1.8 Hull-White（擴展的Vasicek）模型2977.3.2 多因子短期利率模型2977.3.2.1 多因子Vasicek模型2987.3.2.2 多因子CIR模型2987.3.2.3 CIR雙因子模型校準(zhǔn)2997.3.2.4 CIR雙因子模型下的價格互換2997.3.2.5 替代的CIR雙因子模型校準(zhǔn)3007.3.2.6 發(fā)現(xiàn)3027.3.3 仿射期限結(jié)構(gòu)模型3037.3.4 遠(yuǎn)期利率模型（HJM）3047.3.4.1 HJM模型的時間離散3067.3.4.2 因子結(jié)構(gòu)選擇3077.3.5 LIBOR 市場模型3077.4 信用衍生品模型3087.5 模型風(fēng)險3097.6 優(yōu)化及優(yōu)化方法3127.6.1 網(wǎng)格搜索3137.6.2 Nelder-Mead單純形法3147.6.3 遺傳算法3157.6.4 Davidson，F(xiàn)letcher及Powell（DFP）方法3167.6.5 Powell法3167.6.6 對線性約束的輸入應(yīng)用去約束優(yōu)化3177.6.7 有限制條件問題的信任域方法3187.6.8 期望最大化（EM）算法3197.7 折現(xiàn)率曲線的構(gòu)造3197.7.1 LIBOR收益率3207.7.1.1 單一利率的折現(xiàn)因子3227.7.1.2 遠(yuǎn)期利率的折現(xiàn)因子3227.7.1.3 互換利率的折現(xiàn)因子3227.7.2 收益率曲線的構(gòu)造3237.7.2.1 曲線短端的構(gòu)造3237.7.2.2 曲線長端的構(gòu)造3257.7.3 折現(xiàn)率曲線構(gòu)造的多項式樣條方法3267.7.3.1 Hermite差值法3277.7.3.2 自然三次樣條插值法3287.7.3.3 張力樣條插值法3287.8 期權(quán)費的套利限制331
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